Kubikwurzel
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Kubikwurzel
Kubikwurzel oder auch 3. Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl: $$\sqrt[3]{ x } ~= ~a, ~wenn~~~ a³ ~=~ x ~gilt. $$
Zur näherungsweisen Berechnung lässt sich folgende Formel verwenden:
Mit 0<x<1ergibt sich: $$\sqrt[3]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2$$
Wie aber macht man es bei größeren Zahlen?
Okay, kleiner Trick gezeigt am Beispiel von $$\sqrt[3]{345}$$
Man such zuerst die zu 345 nächst kleinere Kubikzahl ==> 343 = 7³
$$\sqrt[3]{343 +2} = (343 + 2)^{\frac{1}{3}} = 343^{\frac{1}{3}}(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} = 7 \cdot (1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}}$$
Nun wird der Zweite Faktor nach der obigen Formel angenähert:
$$(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} \approx 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{343} - \frac{1}{9} \cdot {(\frac{2}{343})}^2$$
Der letzte Teile in der Formel ist winzig klein, kann also vernachlässigt werden.
$$(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} \approx 1 + 0,00194$$
$$\sqrt[3]{345} \approx 7 \cdot 1,00194 = 7,01358$$
Der Taschenrechner zeigt als Ergebnis 7,013579083, die Näherung ist also wirklich gut.
Der Beitrag basiert auf: Maximimilian Miller "Rechenvorteile"