Binomialkoeffizient

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Binomialkoeffizient

Der Binomialkoffezient wird u.a. genutzt, um eine der Grundaufgaben der Kombinatorik zu ermitteln.
$$ n \choose k $$
Dabei steht n für die Anzahl von Objekten (Elementen). Von denen werden k ausgewählt werden.
Die Anordnung der k Elemente ist dabei egal und die Elemente sind alle verschieden.
Das wird als Kombination bezeichnet.
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es 6 aus 49 Zahlen zu ziehen:
Zieht man eine Zahl gibt es 49 Möglichkeiten:
Zieht man die zweite Zahl, so lässt sich jede der 49 Zahlen mit einer der verbleibenden 48 Zahlen kombinieren, also 49 * 48 Möglichkeiten.
Für die dritte gilt dann. dass sich jede der 49 * 48 Möglichkeiten mit einer der verbleibenden 47 Zahlen kombiniert werden kann, 49*48*47.
...
Für die sechs Zahlen von den 49 sind das 49*48*47*46*45*44 Möglichkeiten. Allerdings ist diese Zahl noch durch k! (sprich k Fakultät) zu divieren. Begründung: Es kommt ja auf die Reihefolge der gezogenen Zahlen ja nicht an. (z.B 123456 ist genau so gut wie 234561 oder 341256 ... 6! - Permutation).
$$ 49 \choose 6 $$ steht eben genau für 49*48*47*46*45*44/ 6!
Möchte man nur mit Fakultäten rechnen, so lässt sich das auch so schreiben:
$$ {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} $$
Berechnung

Der Name  Binomialkoffezient kommt daher, dass sich die Koeffezienten von binomischen Ausdrucken (a+b)n nach dem Ausmultiplizieren als B-Koffezienten angeben lassen.
Spezielle Formen:
$$ {n \choose 0} = {n \choose n} = {1} $$
$$ {n \choose 1} = {n \choose n-1} = {n} $$
$$ {n \choose k} = {n \choose n-k} $$

Berechnung des Binomialkoffizienten