kubische Gleichung

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kubische Gleichung

Kubische Gleichung oder Gleichung dritten Grades ist eine Gleichung, die sich in dieser Form gegeben ist der in diese Form umwandeln lässt:
ax³ + bx³ + cx +d = 0 (mit a ungleich 0, wäre a = 0, so erhält man eine quadratische Gleichung)
Gleichungen diesen oder höheren Grades werden meist udrch numerische Verfahren hinreichend genau gelöst. Es gibt aber auch eine exakte Lösungsvorschrift, letztlich eine Lösungsformel. Entwickelt wurde die allgemeine Lösungsformel von Cardano (oder Tartigla).
Eine ausführliche Herleitung der Lösungsformeln findet sich --> hier <--
Deutlich kürzer - aber eben ohne Begründungen wegen des warum:
ax³ + bx³ + cx +d = 0 wird durch a dividiert es wird $$ y := x + \frac{b}{3a}$$ gesetzt
==> y³ + 3py + 2q = 0 mit $$ 3p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}~~ und ~~2q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} $$
Nun wird die Diskriminante D = q² + p³ untersucht.
Wenn gilt D > 0 ==> Die Gleichung hat eine relle und zwei komplexe Lösungen.
Wenn gilt D < 0 ==> Die Gleichung hat drei verschiedene relle Lösungen.
Wenn gilt D = 0 ==> Die Gleichung hat nur "eine Lösung" y₁ = y₂ = y₃ = 0 (für p=q=0) bzw. "zwei Lösungen".
Die Lösungen heißen:
y₁ = u + v
y₂ = f₁u + f₂v
y₃ = f₂u + f₁v
$$ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{D}}\ v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{D}}$$
$$f_{1,2} = 0,5(-1 \pm \sqrt{3} \cdot i) (i = \sqrt{-1})$$ imaginäre Einheit


Beispiel: 0 = x³ + 3x² - 25x - 75
==>
a = 1      b = 3      c = -25      d = -75
==>
p = -9.33333333      q = -24      D = -237.03703704
0= y³ - 28y -48
==> Wegen D < 0  drei relle Lösungen
(z₁ = -q + Wurzel(D) = 24 + 15.39600718 i und z₂ = -q - Wurzel(D) = 24 - 15.39600718 i)

$$ u =  \sqrt[3]{z_1}~~ = 3 + 0.57735027 i  ~~~~    v =  \sqrt[3]{z_2}~~ = 3 - 0.57735027 i $$

y₁ = 6      y₂ = -4     y₃ = -2

x₁ = 5      x₂ = -5     x₃ = -3



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