komplexe Zahlen

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komplexe Zahlen

Eine der Motivationen komplexe Zahlen einzuführen ist die Aufgabe Lösungen für x² + 1= 0 zu finden. Im Bereich der rellen Zahlen ist diese Aufgabe nicht lösbar.
Nun x²= -1 als i² = 1 festgelegt i ist dann Wurzel aus -1.
i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Eine komplexe Zahl a hat dann diese Struktur $$ x = a + b \cdot i$$
a ist der reelle Anteil der Zahl und b der imaginäre Anteil. ( a und b sind reelle Zahlen.
Die graphische Darstellung einer solchen Zahl erfolgt dann nicht mehr auf einer Zahlengeraden, sondern auf einer Zahlenebene. (Vergleichbar mit Punkten einer Funktion in einem Koordinatensystem.)
Addition: (a₁ + b₁i) + (a₂ + b₂i) = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i
Subtraktion: (a₁ + b₁i) - (a₂ + b₂i) = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i
Multiplikation: $$ (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = a_1 \cdot a_2 + a_1 \cdot b_2 i + b_1 i \cdot a_2 + b_1 i \cdot b_2 i $$
unter Berücksichtigung i² = -1 lässt sich das Ergebnis so zusammenfassen:
$$ (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = (a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2) + ( a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1) i $$
Division: Auch gilt, dass eine Divison durch Null ausgeschlossen wird:
$$\frac {(a_1 + b_1 i)}{(a_2 + b_ 2 i)} = \frac {(a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)}{(a_2 + b_ 2 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)} = \frac {a_1 a_2 + b_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2}+\frac {b_1 a_2 - a_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2} \cdot i $$
Es ist mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert worden.
Der Betrag einer komplexen Zahl x = a + b i ist dann $$ |x| = \sqrt {a^2 + b^2} $$ Dies ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.