Komplementaddition
Komplementaddition
Die Subtraktion ist nicht immer ganz einfach, da man bei der schriftlichen Varianten sich immer mal wieder was "borgen" muss.
Die Addition ist da schon etwas einfacher, denn die auftretenden Überträge lassen sich leicht notieren. Eine interessante Alternative zur Subtraktion ist die Komplementaddition, die auch im Computer genutzt wird. Das Komplement einer Zahl vierstelligen Zahl abcd ist die Zahl (9-a)(9-b)(9-c)(9-d). Es werden also die Ziffern verwendet, die eine Ziffer bis zur "9" komplettieren.
x - y = d
Zum Minuenden x wird das Komplement des Subtrahenden y addiert.
Fall 1: x > y Vom Zwischenergebnis der Addition wird die erste 1 entfernt und es wird eine 1 zum "verkürzten" Zwischenergebnis addiert.
Beispiel:
| 5 | 3 | 7 | 8 | 5 | 3 | 7 | 8 | |||
| - | 3 | 4 | 8 | 3 | + | 6 | 5 | 1 | 6 | |
| 1 | 1 | 8 | 9 | 4 | ||||||
| + | 1 | |||||||||
| 1 | 8 | 9 | 5 | <--- | 1 | 8 | 9 | 5 |
Beweis für vierstellige Zahlen: x + (9999 -y) -10000 +1 = x + 9999 - y -10000 +1 = x - y
Fall 2: x < y Vom Zwischenergebnis wird noch noch einmal das Komplement gebildet und dieses erhält ein - als Vorzeichen.
Beispiel:
| 5 | 3 | 7 | 8 | 5 | 3 | 7 | 8 | |||
| - | 8 | 4 | 8 | 3 | + | 1 | 5 | 1 | 6 | |
| 6 | 8 | 9 | 4 | |||||||
| - | 3 | 1 | 0 | 5 | <--- | - | 3 | 1 | 0 | 5 |
Beweis für vierstelligen Zahlen: x + (9999 -y) = s ==> -(9999-s) = -9999 + x + (9999 -y) = - 9999 + x + 9999 - y = x - y
Insbesondere für die Subtraktion bei Computern ist das wichtig.
So wird aus 1001 0001 - 0011 1101 eben einfach eine Komplementaddition 1001 0001 + 1100 0010 nach dem obigen Verfahren. (Im Jahr 1703 stellte Leibniz dieses Verfahren in Paris vor)
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