Kosinussatz

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Kosinusssatz
Der Kosinussatz wird für --> Berechnungen im Dreieck <-- benutzt.
Das Quadrat einer Seitenlänge ist gleich der Summe aus den Quadraten der der Seitenlängen, der beiden anderen Seiten vermindert um das Doppelte des Produkts aus den beiden Seitenlängen und dem Kosinus des Winkels den die beiden Seiten einschließen.
Herleitung einer solchen Beziehung für das spitzwinkligen Dreieck ABC mit der Höhe h_c.
AD = u und DB = v

Satz des Pythagoras in den Teildreiecken

$$  \rightarrow {h_c}^2 = b^2 - u^2 ~~und ~~{h_c}^2 = a^2 - v^2 \\ \rightarrow a^2-v^2 = b^2 - u^2 \\ \rightarrow a^2 = b^2 - u^2 + v^2 \\ \rightarrow a^2 = b^2 - u^2 +(c - u)^2 \\ \rightarrow a^2 = b^2 - u^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot u + u^2 \\ \rightarrow a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot u ~~mit~~ cos \alpha = \frac {u}{b} \rightarrow u = b \cdot cos \alpha \\ \longrightarrow a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot b \cdot {cos \alpha} $$
Wenn man zwei Seiten kennt und den von ihnen eingeschlossen Winkel (entspricht dem Kongruenzsatz sws), dann ist die dritte Seite berechenbar. Kennt man die drei Seiten (entspricht dem Kongruenzsatz sss), so kann man jeden Winkel berechnen.
$$ a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot {cos \alpha} \longrightarrow cos \alpha = \frac {b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}\\ b^2 = a^2 + c^2 -2 \cdot a \cdot c \cdot {cos \beta} \longrightarrow cos \beta = \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c}\\ c^2 = a^2 + b^2 -2 \cdot a \cdot b \cdot {cos \gamma} \longrightarrow cos \gamma = \frac {a^2 + b^2 - c^2}{2 \cdot a \cdot b}\\$$
Wird γ in der letzten Formel mit 90° eingesetzt (rechtwinkliges Dreieck), so ergibt sich der Satz des Pythagoras, denn cos 90° ist ja Null. Letztlich ist also der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes.