Pyramiden

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Pyramiden

Pyramiden sind Körper. Der Name ist von den ägytischen Pyramiden "übernommen".
Es gibt eine n-eckige Grundfläche A_G (Dreieck, Viereck, ...) und n Dreiecksflächen (A₁, A₂, ..., A_n bilden den Mantel der Pyramide), die alle einen gemeinsamen Punkt aufweisen - die Spitze der Pyramide. Liegt die Spitze senkrecht über dem "Mittelpunkt" der Grundfläche, so spricht man von einer geraden Pyramide. Ansonsten hat man eine schiefe Pyramide. Der (senkrechte) Abstand zwischen Grundfläche (bzw. der Ebene auf der die Grundfläche liegt) und der Spitze ist die Höhe h der Pyramide.
allgemeine Formeln:
{tex} V = \frac{1}{3} \cdot A_G h {/tex}
{tex} A_O = A_G + A_M = A_G + A_1 + A_2 + ... + A_n{/tex}
Sind Grund- und Mantelflächen gleichseitige Dreiecke, so nennt man diese Pyramide auch Tetraeder (einer der platonischen Körper)
Formeln:
{tex}V = \frac{sqrt 2}{12} \cdot a^3{/tex}
{tex} A_O = sqrt 3 \cdot a^2 {/tex}
eine weitere Pyramide - gerade rechteckige Pyramide

Grundfläche: {tex} A_G = a \cdot b {/tex}

Volumen: {tex} V = \frac {1}{3} \cdot  a b h \\ V = \frac {1}{3} \cdot  A_G h {/tex}

Die Mantelfläche besteht aus zwei verschiedenen Dreiecken A₁ und A₂, für deren Flächeninhalte die Seitenhöhen h_a und h_b benötigt werden. Diese Seitenhöhen lassen sich mit dem Satz des Pythagoras ganz schnell ermitteln.
{tex} h_a = sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2} {/tex}
{tex} h_b = sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} {/tex}
{tex} A_1 = \frac {1}{2} \cdot a h_a {/tex}
{tex} A_2 = \frac {1}{2} \cdot b h_b {/tex}
{tex} A_O = A_G + 2 \cdot A_1 + 2 \cdot A_2{/tex}

Wenn man mag, so kann man die letzte Formel dann auch so zusammenfassen:
{tex} A_O = A_G + a \cdot h_a + b \cdot h_b{/tex} *

oder aber auch so:
{tex} A_O = A_G + a \cdot sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2}  + b \cdot sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}{/tex}

* gefällt mir besser - ist aber Geschmackssache

Für eine gerade quadratische Pyramide setzt man a = b und verwendet dann entsprechend nur noch a und erhält:
{tex} V = \frac{1}{3} \cdot a^2 h{/tex}

{tex} A_O = A_G + 4 \cdot A_1{/tex}
{tex} h _a = sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}{/tex}
{tex} A_O = a^2 + 2 a h_a{/tex}
{tex} A_O = a^2 + 2 a sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}{/tex}

Die Berechnung von quadratischen Pyramiden bei denen der Fußpunkt der Höhe auf einer der Diagonalen kann mittels der --> Geogebradatei <-- untersucht werden.