Tangenten an Parabeln
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Vergleicht man die Lage von Parabeln und linearen Funktionen in einem Koordinatensystem, so erkennt man leicht, dass die Bilder einer Parabel und einer linearen Funktion entweder zwei Schnittpunkte (Sekante), einen Schnittpunkt (Tangente) oder aber keinen Punkt gemeinsam haben (Passante).
Wie wird nun die Gleichung einer linearen Funktion ermittelt, die eine vorgegebene Normalparabel tangiert.
Gesucht ist die Tangente an y = f(x) = x² + px +q im Punkt T(xt, yt) der Parabel.
Der Anstieg m der Tangente ergibt sich aus der ersten Ableitung der Parabel y' = 2x +p --> m = 2xt + p
Jetzt wird noch der y-Abschnitt (n) der Tangente gebraucht. Der ergibt sich aus yt = (2xt + p)xt + n
n = yt - (2xt + p)xt
n = xt² + pxt + q - (2xt +p)xt
n = q - xt²
Beispiel:
y = f(x) = x² +x - 2, gesucht die Tangente im Punkt (2; 4)
y' = 2x +1
m= 2*2 + 1 = 5
n = -2 - 2² = -6
y = = (f(x)= 5x -6 Tangentengleichung.
Für die allgemeine Parabeln gilt das entsprechend.
y = (f(x) = ax² + bx + c Punkt T(xt, yt)
Der Anstieg m der Tangente ergibt sich aus der ersten Ableitung der Parabel y'= 2ax +b ...