Kettenbrüche

Kettenbrüche

Ein spezielle Form von Brüchen sind Kettenbrüche.
in dem Artikel geht es hier um reguläre Kettenbrüche, das sind solche, die in den Zählern nur 1 aufweisen.

Jeder gemeine Bruch (also Form {tex} \frac{a}{b}{/tex} mit a und b natürliche Zahlen verschieden von Null lässt sich in einen Kettenbruch umwandeln.
{tex}\frac{4}{7} = \frac{1}{\frac{7}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{4}{3}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}{/tex}

Es gibt dafür auch eine Kurzschreibweise. [0;1,1,3] Die Null steht hier, weil es ein echter Bruch ist. {tex} \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7}{/tex} sehe dann so aus: [3;1,1,3]
Hat man einen Kettenbruch gegeben, so kann man von unten nach oben rechnend den Kettenbruch in einen gemeinen Bruch verwandeln.
(Gegenstand der Wochenaufgabe 485 - Lösungstermin: 04.02.2016)
Es gibt auch periodische Kettenbrüche Kurzformbeispiel: [3; 1,1,1,1,6] das ist das Ergebnis von Wurzel(13) in einen Kettenbruch. Bricht man den periodischen Kettenbruch irgendwo ab, so erhält eine Näherungsbruch {tex} \frac{a}{b}{/tex} für Wurzel(13).
Ein historisches Beispiel der Anwendung:
Hyugens wollte ein Planetariumsmodell schaffen. Seine Berechnungen führten dazu, dass er für den Umlauf Erde - Merkur Zahnräder mit 21038 bzw. 8067 Zähnen gebraucht hätte. Also ein Verhältnis {tex} \frac{21038}{8067}{/tex}. Solche Zahnräder konne er aber nicht konstruieren, also suchte er nach ein[4;6,1,1]={tex} \frac{54}{13}{/tex}er Übersetzung, die möglichst genau sein sollte, aber immer noch konstruierbar.
{tex} \frac{21038}{8067}{/tex} führt auf den Kettenbruch [4;6,1,1,2,1,1,1,1,7,1,2].
Näherungen
[4] = 4
[4;6] = {tex} \frac{25}{6}{/tex}
[4;6,1] = {tex} \frac{29}{7}{/tex}
[4;6,1,1]={tex} \frac{54}{13}{/tex}
[4;6,1,1,2]={tex} \frac{137}{33}{/tex}
Das letzte Verhältnis hätte Huygens nehmen können, denn zwei solche Zahnräder konnte er noch herstellen.
[4;6,1,1,2,1]={tex} \frac{191}{46}{/tex}
[4;6,1,1,2,1,1]={tex} \frac{328}{79}{/tex}
[4;6,1,1,2,1,1,1]={tex} \frac{519}{125}{/tex}
[4;6,1,1,2,1,1,1]={tex} \frac{847}{204}{/tex}
...
Der Bruch {tex} \frac{847}{204}{/tex} also eine sehr gute Näherung war für das Getriebe noch besser geeignet, weil er es mit 4 Zahnrädern realisieren konnte: 847=7*121 und 204 = 12*17