silberner Schnitt

silberner Schnitt

Den goldenen Schnitt kennen viele. In der Kunst, bei Herrn Fibonacci, in der Natur, .... --> ein Beispiel <--
Beschrieben wird hier die "innere" Teilung.

Die Strecke a (AB) wird im inneren durch den Punkt S₁ in die Teilstrecken a₁ und a₂ geteilt. (*a₁ wird hier als größere Teilstrecke verwendet.)
Beim goldenen Schnitt gilt bekanntlich
{tex} \frac{a_1}{a_2}= \frac{a}{a_1}= \frac{a_1+a_2}{a_1}{/tex}
In Worten: Das längere Teilstück verhält sich zum kurzen Teilstück wie die gesamte Strecke zum längeren Teilstück.
Der silberne Schnitt hat nun diese Formel
{tex} \frac{a_1}{a_2}=  \frac{2a_1+a_2}{a_1}{/tex}
Wird diese Gleichung mit a₁a₂ multipliziert ergibt das:

a₁²=2a₁a₂ + a₂²
Die Lösung dieser Gleichung nach a₁ ist dann
{tex}a_1= a_2 \cdot (1 \pm sqrt(2)) {/tex}
Wegen * würde man nur das + nehmen.
Wie man das konstruiert wird, wird mal noch ergänzt.
Und ja man könnte noch mehr "metallene" Schnitte kreieren: Mit  beliebigem n (natürliche Zahl größer 2)
{tex} \frac{a_1}{a_2}=  \frac{n \cdot a_1+a_2}{a_1}{/tex}