normale Parabeln

Umzug in Quadropolis

Quadropolis ist eine Riesenstadt im unendlichen Land der Funktionen. Wenn man mit dem Flugzeug darüber hinweg fliegt, so sind die Straßen deutlich zu erkennen. Alle Einwohner wohnen in Häuser, die auf Parabeln liegen. Ist ja klar, schließlich hat daher die Stadt ihren Namen. Während die Linis einfach nur geradeaus verlaufen, sind Parabeln komische krumme Dinger. Die Geometer meinen damit folgendes: Die suchen sich einen Punkt - so was kleines Niedliches - und borgen sich dazu eine Gerade. Nun marschieren die Geometer aufs Feld hinaus und schlagen überall da Pflöcke ein, wenn die etwas entdeckt haben, was von dem Punkt und der Geraden den gleichen Abstand hat. Nun und diese Pflöcke ergeben eben dann ein Gebilde, was Parabel genannt wird.

Am Anfang war das Gebiet des heutigen Quadropolis eine große leere Ebene. Damit sich die Leute nicht verliefen legten Sie ein Koordinatensystem fest, so wie sie es bei den Linis gelernt hatten. Die Grundsteinlegung für das erste Haus erfolgte beim Koordinatenursprung. Die Familie bekam Zwillinge. Der eine zog eins nach links und eins nach oben, der andere nach rechts und oben. Dort bauten sie ihr eigenes Haus. Beide heirateten. (Es gibt ja noch andere Geschichten, wo nicht klar ist, wo plötzlich die Heiratskandidaten herkommen, also lassen wir das hier auch einfach so passieren.) Der jeweils älteste Sohn baute dann wiederum jeweils ein Haus, welches sich wieder eine Einheit weiter rechts für den Rechten und eine Einheit weiter links für den Linken befand. Allerdings waren sie 3 Einheiten nach oben weiter gezogen. So setze sich das fort. Eine Einheit links bzw. rechts und dann 5 Einheiten, 7 Einheiten, 9 Einheiten, ... nach oben. Die Abstände zwischen den Nachbarhäusern wurde also immer größer, aber das hielten alle für normal, so dass sie ihrer Straße den Namen "Normalparabel" gaben. Wenn man die Leute alle besuchte, stellte man sehr schnell fest, dass, von links gesehen, die Straße abwärts führte und nach dem Stammhaus bei (0;0) plötzlich steigend verlief. Ganz schlaue Leute finden heraus, wo sich so ein Haus befindet. Wenn x der Abstand auf der x-Achse - die nette Abzisse- ist, dann ergibt sich für den Wert y auf der y-Achse - die aufstrebende Ordinate - einfach y=x². Diese Gleichung ist die Stammmutter aller quadratischen Funktionen.

Als die Kinder aus dem Koordinatenursprung ausgezogen waren, trat dort eine herrliche Ruhe ein. Es mussten keine Hausaufgaben mehr organisiert werden, das Gezänk wegen des Fernsehprogramms hörte auf, einfach klasse. Die beiden Alten besuchten immer mal ihre Kinder oder auch Enkelkinder und als sie wieder nach Hause kamen fingen Sie an zu überlegen, was wäre denn, wenn nun auch immer Zwillinge geboren worden wären und diese nicht in einem gemeinsamen Haus wohnen wollten. Zwar passen in ein Punkthaus unendlich viele Punktfamilien, aber man weiß ja wie das ist, wenn viele zusammen kommen. Die Mutter hatte die Idee, dass die Häuser einfach entlang einer neuen Straße gebaut werden könnten. Diese Straße könnte einfach eine Einheit weiter oben liegen als die bisherige Straße. Der Tiefpunkt - auch Scheitel genannt - wäre dann nicht mehr ihr Haus bei (0;0) sondern bei (0;1) und genau so einfach wäre die Berechnung mit y = x² +1. Klasse Idee, meinte der Vater, genau ließe sich dann auch weiter nach oben oder gar nach unten verschieben und alle Straßen wären noch immer "Normalparabeln". Da könnten die Stadtplaner ja gleich eine Schablone nehmen, die einfach bei (0;e) -e wie egal was wir für eine Zahl nehmen - ansetzen und eine neue Straße vorgeben. Ein Nachrechnen mit y = x² + e, egal ob e nun positiv oder negativ ist, wäre ja noch immer möglich. Der Gedanke mit der Schablone bringt mich auf eine Idee, sagte die Mutter. Solche Straßen könnten doch auch auf der x-Achse, also nach links und rechts neu konzipiert werden. Lass mich mal nachdenken. Wenn der Scheitelpunkt bei (0;1), dann wird aus (1;1) (2;1) aus (2;4) wird (3;4) und aus (3;9) wird (4;9), dann muss aus y = x² na verflixt, halt ich hab's y = (x-1)² werden. Stimmt genau meinte der Vater. Wenn ich das schnell noch mal nachrechne hast du recht. Dann heißt das aber doch genau so, liegt der Scheitelpunkt bei (2;0) heißt die Gleichung y = (x - 2)². Perfekt, schieben wir es nach links also beispielsweise nach (-3;0) klappt es mit y = (x + 3)². Wenn ich also eine Gleichung sehe der Form y = (x + d)², dann ist das Bild einfach wieder eine "Normalparbabel", deren Scheitelpunkt bei (-d;0) liegt. Das d steht einfach für das wars.

Wenn wir einmal beim Spinnen sind, machen wir es komplett. Wenn wir eine "Normalparabel" richtig in das Koordinatensystem hinein verschieben wollen und nicht bloß entlang der Achsen, dann wurstele ich mich nicht an allen anderen vorbei, sondern mache zwei Schritte hintereinander, also beispielsweise erst rechts oder links, also die Sache mit dem d und anschließend nach oben oder unter also die Sache mit dem e. Damit sieht es am Ende wieder richtig "schräg" aus. Die Gleichung y = (x +d)² +e passt also zu einer "Normalparabel" deren Scheitelpunkt bei (-d;e) liegt.

Puh, damit hätten wir für alle Generationen ausgesorgt meinten Vater und Mutter und waren zufrieden.

Nun, das stimmt aber so nicht ganz meinten zwei "Linis", die in der Kneipe "Zur runden Sache" von den Überlegungen hörten. Was ist denn mit unnormalen Parabeln, was ist mit den besonderen Punkten, bei denen von uns die Rede gewesen ist? Und was macht man, wenn die Gleichung mal so aussieht y = x² +px +q, wo bei p und q irgendwelche Zahlen sein sollen? Gemach, gemach, sagten Vater und Mutter, die Antworten werdet ihr in Quadropolis II hören.

Denkt noch mal darüber nach:

  1. Wie kommen Geometer zu einer Parabel? *Wie erreichen die eine "Normalparabel?

  2. Welchen Wertebereich haben "Normalparabeln" der einzelnen Arten?

  3. Zeichne alle Funktionsbilder für e= -2; -1; 0; 1 und 2 und d=-2; -1; 0; 1 und 2

  4. Beschreibe das Monotonieverhalten der Funktionen aus 3.

  5. Lies in Vorbereitung auf Quadropolis II die Nullstellen der Funktionen aus 3. ab.  Erkennst du ein System?

Denkt noch mal darüber nach: