Arbelos

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Arbelos

Arbelos leitet sich vom griechischen "Schustermesser" ab. Archimedes soll diese Figur sehr intensiv untersucht haben. (Es werden noch weitere Artikel im Lexikon erscheinen, die auf die interessanten Eigenschaften dieser Figur eingehen s. u.)

Ein roter Halbkreis (d = AB) wird von zwei kleinen Halbkreisen (d = AC= 2R bzw. d = CB=2r) überdeckt, so dass letztendlich das rote Kreisbogendreieck "übrig bleibt" - Arbelos.
Der Umfang des Arbelos ist gleich dem Umfang des Kreises mit dem Durchmesser AB. Der nachweis dazu ist nicht so schwer - "scharfes Hinsehen" reicht.
Flächeninhalt: $$ A = \frac {\Pi \cdot (R + r)^2}{2} - ( \frac {\Pi \cdot R^2}{2} + \frac {\Pi \cdot r^2}{2}) \\A = \Pi \cdot R \cdot r$$
Mit Hilfes des Satz des Thales und des Höhensatzes für rechtwinklige Dreiecke läßt sich zeigen, dass der grüne Kreis in der Figur den gleichen Flächeninhalt hat wie der Arbelos.

Der grüne Kreis wird auch als Kreis des Archimdes bezeichnet.
Herleitung:
Höhensatz: h² = 2R*2r = 4 Rr. Eingesetzt in die Flächeninhaltsformel für den grünen Kreis:
$$ A = \Pi \cdot \left(\frac {h}{2}\right)^2 \\ A = \Pi \cdot \frac {h^2}{4} \\ A = \Pi \cdot \frac {4 \cdot Rr}{4} \\  A = \Pi \cdot Rr$$
--> der Inkreis des Arbelos <--