Mathelexikon

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Kehrwert

Kehrwert eines Bruches:
Inverses einer Zahl, auch als Kehrwert oder Reziprok bezeichnet.
Ist a die Zahl und a' ihr Inverses, so gilt a · a' = 1
Bei Brüchen der Form a/b mit a und b ungleich Null, ist das Inverse b/a.

Reziprok

Reziprok einer Zahl:
Inverses einer Zahl, auch als Kehrwert oder Reziprok bezeichnet.
Ist a die Zahl und a' ihr Inverses, so gilt a · a' = 1
Bei Brüchen der Form a/b mit a und b ungleich Null, ist das Inverse b/a.

Inverses-einer-Zahl

Inverses einer Zahl:
Inverses einer Zahl, auch als Kehrwert oder Reziprok bezeichnet.
Ist a die Zahl und a' ihr Inverses, so gilt a · a' = 1
Bei Brüchen der Form a/b mit a und b ungleich Null, ist das Inverse b/a.

Inversion-Geometrie (Spiegelung am Kreis)

Inversion oder auch Spiegelung am Kreis:


Der Kreis K habe den Mittelpunkt M und den Radius r. P sei der zu invertierende Punkt, dann gilt MP · MP' = r². P' ist der gesuchte Bildpunkt.
Konstruktion von P'.
1. Liegt P auf K, so ist P' = P
2. Liegt der Punkt P im Inneren des Kreises, zeichnet man die zu der Geraden MP senkrechte Kreissehne durch P. An die entstehenden Schnittpunkte mit K werden die Tangenten konstruiert. Deren Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt P'.
3. Liegt der Punkt P dagegen im außerhalb des Kreises, so konstruiert man die beiden Tangenten an K durch P. Die Strecke durch die beiden  Berührungspunkte schneidet die Gerade MP  im gesuchten Bildpunkt P'.

2.5.2017 Ergänzung eines Bildes.
Das grüne Gebilde im Kreis ist das Bild des roten Sechsecks.

inversion k
--> Bild groß <--

Winkelhalbierende-im-Dreieck

Winkelhalbierende im Dreieck:
Konstriert man in einem Dreieck die drei Winkelhalbierenden, so schneiden sich diese in einem Punkt W.
Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

Winkelhalbierende

Winkelhalbierende:
Das Halbieren eines Winkels gehört zu den Grundkonstruktionen:
Gegeben ist ein Winkel mit dem Scheitelpunkt S und den Schenkeln a und b.
1. Zeichne einen Kreisbogen um S, der a und b schneidet. Es entstehen die Schnittpunkte A auf a und B auf b.
2. Nimm die Zirkelspanne von 1 und zeichne damit Kreisbögen um A bzw. B. Diese Kreisbögen schneiden sich in S und S'.
3. Die Gerade durch S und S' teilt den Winkel in zwei gleichgroße Teilwinkel und ist die gesuchte Winkelhalbierende.

Mittelsenkrechte

Mittelsenkrechte:
Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Mittelpunkt einer gegebenen Strecke AB verläuft und zu dieser senkrecht steht.
Konstruktion:
1. Zeichne einen Kreisbogen um A mit einem Radius r (r>AB/2)
2. Zeichne einen Kreisbogen um A mit dem gleichen Radius wie bei 1.
3. Die Kreisbögen schneiden sich in zwei Punkten C und D
4. Die Gerade durch C und D ist die gesuchte Mittelsenkrechte m.
5. Der Schnittpunkt M von AB und m ist der Mittelpunkt von AB, teilt also AB in zwei gleichlange Teile.

Zylinder

Zylinder:
Ein Zylinder, hier im Sinne von Kreiszylinder, ist ein Körper,der aus zwei zu einander parallelen und kongruenten Kreisflächen und einer Mantelfläche besteht, die beim geraden Kreiszylinder zu einem Rechteck, bei schiefen Kreiszylinder zum Parallelogramm abgerollt werden kann.

-- Berechnung --

Zufallsversuche

Zufallsversuche

Zufallsversuche stehen am Beginn der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Meist werden Kinder damit gequält, dass sie etliche Mal mit Würfeln klappern müssen und dann auf aufschreiben sollen wie oft welche Zahl angezeigt wurde. ...

-- Onlinewürfeln --


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Zerlegung

Zerlegung
In vielen Aufgabenstellungen geht es um Zerlegungen von Strecken - z.B. Goldener Schnitt - oder das Zerlegen von Zahlen in Summanden oder Faktoren.
In dem Beispiel geht es um die Zerlegung von Zahlen in drei dreistellige Summanden, deren Ziffern alle verschieden sein sollen.

-- Zerlegung 1 --

vollkommene Zahlen

vollkommene Zahlen
Natürliche Zahlen werden vollkommene Zahlen genannt, wenn die Summe aller Teiler, die kleiner als die Zahl selber sind - echte Teiler - gleich der Zahl ist. Beispiele:
6 - echte Teiler sind 1; 2; 3, deren Summe ist wieder 6
28 - echte Teiler sind 1; 2; 4; 7; 14 deren Summe ist 28
Leonard Euler konnte zeigen, dass folgendes gilt: Ist 2n - 1 eine Primzahl, dann ist 2n-1 · (2n -1) eine vollkommene Zahl. (n muss selber Primzahl sein)
(Anmerkung 1: die Primzahlrekorde laufen auf die Untersuchung von 2n -1 hinaus - Mersennezahlen
Anmerkung 2: ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist nicht bekannt.)
-- Austesten --

Vieta, Satz von

Satz von Vieta
Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung: x2 + px + q = 0, dann gilt:
x1 + x2 = - p und x1 · x2= q

-- Berechnung --

Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeitsregeln natürlicher Zahlen

Die folgenden Teilbarkeitsregeln beruhen auf folgenden Sätzen:
1. Ein Produkt ist durch eine Zahl teilbar, wenn einer der Faktoren durch die Zahl teilbar ist.
2. Eine Summe ist durch eine Zahl teilbar, wenn jeder Summand durch diese Zahl teilbar ist.

Regel für die Zahl 2:

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer durch 2 teilbar ist!

Nachweis: Jede mehrstellige natürliche Zahl lässt sich in 10a + b (b - Einer) zerlegen. Beispiel: 3456= 10 . 345 + 6.
10a ist nach Satz 1 durch 2 teilbar. Ist nun b durch 2 teilbar, folgt die Regel nach Satz 2 unmittelbar.

 

Entsprechend folgen die Regeln für die 4, 8, 16 usw.

Regel für die Zahl 4:

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Stellen durch 4 teilbar sind!

Regel für die Zahl 8:

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die drei letzten Stellen durch 8 teilbar sind!

Regel für die Zahlen 3, 6 und 9:

Merke: Man bildet eine Quersumme einer Zahl, in dem man die Summe ihrer Ziffern bildet.

Bsp.: Q (134 ) =1+3+4 = 8


Merke: Eine Zahl ist

durch 3 teilbar , wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
durch 9 teilbar , wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
durch 6 teilbar , wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

 

Regeln für die Zahlen 5 und 10

Merke: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist.

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.

Regel für die 11

Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre Querdifferenz durch 11 teilbar ist.

Regeln für die 7 sind nicht gerade praktikabel

1. Regel:
Multipliziere die am weitesten links stehende Ziffer der zu untersuchenden Zahl mit 3, addiere die nächste Ziffer, multipliziere das Zwischenergebnis wieder mit 3, addiere die nächste Ziffer usw. bis auch die letzte Ziffer addiert ist. Die Ausgangszahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn das so erhaltene Resultat durch 7 teilbar ist.
2. Regel:
Teile die Zahl rechts beginnend in Dreierblöcke.
Diese Blöcke werden als dreistellige Zahlen aufgefasst, und jetzt addiert man die von rechts gezählt 1., 3., 5. usw. Zahl (3er-Block), während man die an 2. 4. usw. Position stehende Zahl subtrahiert. Die Ausgangszahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn die so ermittelte Summe es ebenfalls ist.

Nun reichts. (fast)

-- Ermittlung der Teiler --


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