Mathelexikon

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hier geht es zu einer zusammenfassenden Übersicht

Umkreis

Umkreis
Der Begriffe Umkreis bezieht sich auf n-Ecke.
Liegen alle Eckpunkte eines n-Ecks auf einem (gemeinsamen) Kreis, so wird dieser Kreis als Umkreis bezeichnet.
Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis.
Vierecke haben einen Umkreis, wenn sie Sehnenvierecke sind - also wenn gilt, dass die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180° ergibt.
Jedes regelmäßige n-Eck hat einen Umkreis.

Sehnenviereck

Sehnenviereck

Sehnenviereck

Es werden auf einem Kreis vier Punkte A, B, C und D gewählt. Werden diese vier Punkt durch Sehnen verbunden, die sich nicht schneiden sollen, so heißt das entstandende Viereck: Sehnenviereck.
sehnenviereck
Es gilt: Die Summe der gegenüberliegenden Winkel ergibt 180°.
Nur Vierecke, die zugleich Sehnenvierecke sind, haben einen Umkreis.
Es gilt AP * CP = BP * DP
zur Ergänzung siehe Tangentenviereck

Kongruenz von Dreiecken

Kongruenz von Dreiecken

Um zu überprüfen, ob zwei Dreiecke kongruent zueinander sind, ist es nicht notwendig alle Winkel und Seitenlängen übereinstimmen, sondern es gilt:
1. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in drei Seiten übereinstimmen. (sss) auf die Dreicksungleichung achten.
2. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in zwei Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. (sws)
3. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel überreinstimmen. (sSw)
4. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in einer Seite und den an der Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. (wsw)

Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung

In einem ebenen Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c gilt:
a + b > c
a + c > b
b + c > a.
Kurz gesagt: Zwei Seiten eines Dreiecks zusammen müssen immer länger sein als die dritte Seite.
Zum Testen reicht es aus, die zwei "kurzen" Seitenlängen zu addieren und mit der längste Seite zu vergleichen.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

Jakobsstab

Jakobsstab
jakobsstabDer Jakobsstab ist ein mittelalterliches Winkelmessgerät. Beschrieben wird es sehr ausführlich von Peter Apianus.
Auf einem Längsstab ist ein beweglicher Querstab angebracht. (Meist gibt es den in verschiedenen Größen.)
--> Nähere Beschreibung <--

Kubatur

Kubatur

Als Kubatur wird die Berechnung des Volumens von Körpern mittels Integralrechnung bezeichnet.

Transversale

Transversale

Eine Gerade, die die Seiten (oder deren Verlängerungen) eines gegebenes Dreieck schneidet, wird als Transversale bezeichnet. (Die Gerade ist also meist nicht parallel zu einer der Dreiecksseiten.)
Die "besonderen Linien" eines Dreiecks - Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Lote (Höhen), Seitenhalbierende, eulersche Gerade, ... sind im obigen Sinne alles Transversalen.

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Yard

Yard
trotz Meterconvention ist Yard noch immer ein verbreitetes Längenmaß, vor allem in den USA und Großbritannien.
Yard --> {tex}1 yd \approx 0,9144 m{/tex}

Hauptnenner

Hauptnenner

Werden (gemeine) Brüche addiert oder subtrahiert, so müssen diese, wenn sie nicht den gleichen Nenner haben, gleichnamig gemacht werden.
Der kleinste dieser möglichen Nenner wird als Hauptnenner bezeichnet. Er ist gleich dem k.g.V. der Nenner.

Additionstheoreme

Additionstheoreme

Es gibt letztlich jede Menge von Addionstheoremen, denn schon aus den hier gezeigten lassen sich immer wieder neue ableiten. Aber ist schon faszinierend, wie die Werte der Winkelfuntionen zusammen "passen".
$$ \sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta $$
$$ \cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta $$
$$ \tan ( \alpha \pm \beta ) =\frac { \tan \alpha \pm \tan \beta }{1 \mp \tan \alpha \cdot \tan \beta } $$
$$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \cdot \sin { \frac { \alpha + \beta }{2}} \cdot \cos { \frac { \alpha - \beta }{2}} $$
$$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cdot \cos { \frac { \alpha + \beta }{2}} \cdot \sin { \frac { \alpha - \beta }{2}} $$
$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cdot \cos { \frac { \alpha + \beta }{2}} \cdot \cos { \frac { \alpha - \beta }{2}} $$
$$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \cdot \sin { \frac { \alpha + \beta }{2}} \cdot \sin { \frac { \alpha - \beta }{2}} $$
$$ \tan \alpha \pm \tan \beta = \frac { \sin ( \alpha \pm \beta )}{ \cos \alpha \cdot \cos \beta} $$
...

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Komplementwinkel

Komplementwinkel

Wird ein rechter Winkel in zwei Teilwinkel geteilt, so heißen die entstehenden Winkel Komplementwinkel.
{tex} \alpha + \beta = 90^\circ {/tex}
Die Komplementwinkel sind im Bereich der Winkelbeziehungen wichtig.
{tex} \sin x = \cos (90^\circ - x){/tex}
{tex} \cos x = \sin (90^\circ - x){/tex}
{tex} \tan x = \cot (90^\circ - x){/tex}
{tex} \cot x = \tan (90^\circ - x){/tex}

Sigmafunktion

Sigmafunktion {tex} \Sigma {/tex}

Die Sigmafunktion {tex} \Sigma n {/tex} einer natürlichen Zahl n ordnet der Zahl n die Summe aller Teiler der Zahl n zu.
{tex} \Sigma 12 {/tex} = 1+ 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.
Gilt  {tex} \Sigma n \leq 2n {/tex} so ist n eine arme Zahl.
Gilt  {tex} \Sigma n = 2n {/tex} so ist n eine vollkomme Zahl.
Gilt  {tex} \Sigma n \geq 2n {/tex} so ist n eine reiche Zahl.

relativ prim

relativ prim

Zwei natürlich Zahlen heißen relativ prim, wenn ihr ggT = 1 ist. Das heißt mit anderen Worten, die Zahlen sind teilerfremd.

relative Häufigkeit

relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit Formelzeichen meist hn(xi)
Es wird die absolute Häufigkeit der "gewünschten" Ereignisse durch die Anzahl aller Ereignisse dividiert.

$$h_n (x_i) = \frac{H_n (x_i)}{n}$$
Beispiel: Es wird 20 mal gewürfelt ==> n 20. Es wird nach den gewürfelten Zweien geschaut. xi = x2.
Es wird zufälligerweise 4 mal die 2 gewürfelt H20(x2) = 4 ==>
$$h_n (x_i) = \frac{H_n (x_i)}{n} = h_{20} (x_2) = \frac{H_{20} (x_2)}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$$
Häufig wird die relative Häufigkeit auch in Prozent angegeben. Das wären in dem Beispiel $$ \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20 \%$$

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  1. Absolute Häufigkeit
  2. Zentralwert
  3. Modalwert
  4. Spannweite