Menge

Menge

Menge ist einer der Grundbegriffe der Mathematik.
Unter Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, die gemeinsame Eigenschaften haben. Auch Zahlen lassen sich zu menge zusammenfassen. Zum Beispiel: Menge der natürlichen Zahlen Symbol N oder besser {tex} \mathbb{N} {/tex}, aber auch die Menge aller Schüler in einer Klasse.
(Nicht zu verwechseln aber ist der mathematische Begriff mit dem umgangssprachlichen Begriff wie im Beispiel Deutschland hat eine Menge Schulden.)
Enthält eine Menge kein Element, so spricht man von der leeren Menge. Symbol: $$\emptyset $$ oder { }


noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

komplexe Zahlen

komplexe Zahlen

Eine der Motivationen komplexe Zahlen einzuführen ist die Aufgabe Lösungen für x² + 1= 0 zu finden. Im Bereich der rellen Zahlen ist diese Aufgabe nicht lösbar.
Nun x²= -1 als i² = 1 festgelegt i ist dann Wurzel aus -1.
i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Eine komplexe Zahl a hat dann diese Struktur $$ x = a + b \cdot i$$
a ist der reelle Anteil der Zahl und b der imaginäre Anteil. ( a und b sind reelle Zahlen.
Die graphische Darstellung einer solchen Zahl erfolgt dann nicht mehr auf einer Zahlengeraden, sondern auf einer Zahlenebene. (Vergleichbar mit Punkten einer Funktion in einem Koordinatensystem.)
Addition: (a₁ + b₁i) + (a₂ + b₂i) = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i
Subtraktion: (a₁ + b₁i) - (a₂ + b₂i) = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i
Multiplikation: $$ (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = a_1 \cdot a_2 + a_1 \cdot b_2 i + b_1 i \cdot a_2 + b_1 i \cdot b_2 i $$
unter Berücksichtigung i² = -1 lässt sich das Ergebnis so zusammenfassen:
$$ (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = (a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2) + ( a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1) i $$
Division: Auch gilt, dass eine Divison durch Null ausgeschlossen wird:
$$\frac {(a_1 + b_1 i)}{(a_2 + b_ 2 i)} = \frac {(a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)}{(a_2 + b_ 2 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)} = \frac {a_1 a_2 + b_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2}+\frac {b_1 a_2 - a_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2} \cdot i $$
Es ist mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert worden.
Der Betrag einer komplexen Zahl x = a + b i ist dann $$ |x| = \sqrt {a^2 + b^2} $$ Dies ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.

kubische Gleichung

kubische Gleichung

Kubische Gleichung oder Gleichung dritten Grades ist eine Gleichung, die sich in dieser Form gegeben ist der in diese Form umwandeln lässt:
ax³ + bx³ + cx +d = 0 (mit a ungleich 0, wäre a = 0, so erhält man eine quadratische Gleichung)
Gleichungen diesen oder höheren Grades werden meist udrch numerische Verfahren hinreichend genau gelöst. Es gibt aber auch eine exakte Lösungsvorschrift, letztlich eine Lösungsformel. Entwickelt wurde die allgemeine Lösungsformel von Cardano (oder Tartigla).
Eine ausführliche Herleitung der Lösungsformeln findet sich --> hier <--
Deutlich kürzer - aber eben ohne Begründungen wegen des warum:
ax³ + bx³ + cx +d = 0 wird durch a dividiert es wird $$ y := x + \frac{b}{3a}$$ gesetzt
==> y³ + 3py + 2q = 0 mit $$ 3p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}~~ und ~~2q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} $$
Nun wird die Diskriminante D = q² + p³ untersucht.
Wenn gilt D > 0 ==> Die Gleichung hat eine relle und zwei komplexe Lösungen.
Wenn gilt D < 0 ==> Die Gleichung hat drei verschiedene relle Lösungen.
Wenn gilt D = 0 ==> Die Gleichung hat nur "eine Lösung" y₁ = y₂ = y₃ = 0 (für p=q=0) bzw. "zwei Lösungen".
Die Lösungen heißen:
y₁ = u + v
y₂ = f₁u + f₂v
y₃ = f₂u + f₁v
$$ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{D}}\ v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{D}}$$
$$f_{1,2} = 0,5(-1 \pm \sqrt{3} \cdot i) (i = \sqrt{-1})$$ imaginäre Einheit


Beispiel: 0 = x³ + 3x² - 25x - 75
==>
a = 1      b = 3      c = -25      d = -75
==>
p = -9.33333333      q = -24      D = -237.03703704
0= y³ - 28y -48
==> Wegen D < 0  drei relle Lösungen
(z₁ = -q + Wurzel(D) = 24 + 15.39600718 i und z₂ = -q - Wurzel(D) = 24 - 15.39600718 i)

$$ u =  \sqrt[3]{z_1}~~ = 3 + 0.57735027 i  ~~~~    v =  \sqrt[3]{z_2}~~ = 3 - 0.57735027 i $$

y₁ = 6      y₂ = -4     y₃ = -2

x₁ = 5      x₂ = -5     x₃ = -3



noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

Kürzen

Kürzen von Brüchen

Besitzen Zähler und Nenner eines Bruches gemeinsame Teiler, dann kann man Zähler und Nenner durch den gemeinsamen Teiler teilen, ohne dass sich am Wert des Bruches - der gebrochenen Zahl - etwas ändert.
$$ \frac{15}{20} = \frac {15 : 5}{20 : 5} = \frac {3}{4}$$
Ziel des Kürzens ist eine verbesserte Anschaulichkeit.
$$ \frac{75}{125} = \frac {3}{5}$$

Grundrechenarten Bruchrechung

noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

Erweitern

Erweitern von Brüchen

Erweitern von Brüchen heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl (ungleich Null und sinnvollerweise eine natürliche Zahl) zu multiplizieren.
Der Wert des Bruches - die gebrochene Zahl - selber ändert sich nicht.
$$ \frac{3}{4} = \frac {3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac {15}{20} $$
Das Erweitern von Brüchen wird hauptsächlich genutzt, um Brüche vergleichen zu können bzw. die Addition oder Sutraktion von Brüchen auszuführen.

Grundrechenarten Bruchrechung

 
noch mehr Interessantes im -->Mathelexikon<--

Kreisring

Kreisring

konzentrisch

konzentrisch

Faktorisieren

Faktorisieren
Faktorisieren heißt eine Summe wird in ein Produkt umgewandelt. Das geschieht häufig durch die Anwendung des Distributivgesetzes oder der binomischen Formeln.
Beispiel 1: 15x + 27y = 3(5x + 9y)
Beispiel 2:  16x² + 40 xy + 25y² = (4x+5y)(4x+5y)=(4x+5y)²
Eine Anwendung ist die Umstellung von $$ \frac{1}{R_G} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \rightarrow R_G = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} $$


noch mehr Interessantes im -->Mathelexikon<--

Diskriminante

Diskriminante

Bei der Lösung von --> quadratischen Gleichungen <-- der Form x² + px + q = 0 wird der folgende Ausdruck als Diskrimante D bezeichnet:
$$ D ={\left(\frac{p}{2}\right)}^2 - q $$
Die Lösungsformel der quadratischen Gleichung wird dann zu:

$$  {x_{1,2} }~ = ~ - \frac {p} 2 \pm \sqrt {D} $$
Mit D > 0 hat die Gleichung zwei von einander verschiedene reelle Lösungen.
Mit D = 0 hat die Gleichung zwei zusammenfallende reelle Lösungen. x₁ = x₂.
Mit D < 0 hat die Gleichung keine relle Lösungen, sondern zwei von einander verschiedene komplexe Lösungen.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

cos

cos

cos Abkürzung für --> Kosinus.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

Einheitskreis

Einheitskreis

Als Einheitskreis wird ein Kreis mit dem Radius von 1 bezeichnet. (1 - eine Längeneinheit)

Die grüne Linie entspricht dann dem Sinus des Winkels.
Die rote Linie entspricht dem Kosinus des Winkels.
Die hellblaue Linie entspricht dem Tangens des Winkels.


Ergänzung des Artikel:
Geogebradatei zur Herleitung der Funktionsbilder.
Applet für die Winkelfunktionswerte (passend zum Bild).
Applet für die Herleitung der Winkelfunktionen

binomische Formeln

binomische Formeln

Es gibt drei binomische Formeln.
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)(a - b) = a² + b²
Diese Formeln finden vielfältige Anwendungen, so zum Beispiel bei den quadratischen Funktionen, wenn die Normalform in die Scheitelpunktsform (u. u.) umgewandelt werden soll.
Auch als Hilfe für das Kopfrechnen lassen die Formeln sich nutzen.
Beispiele:
31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961
22*18 = (20 + 2)(20 - 2)= 400 - 4 = 396
Zum Beweis der Formeln lassen sich arithmetische, aber auch geometrische Verfahren nutzen.
Weitere Beispiele können gern im Kommentarfeld gezeigt werden.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

Multiplikation

Subtraktion

Subtraktion

Addition

Addition

Zwei Zahlen a und b - egal ob natürliche, gebrochene, rationale, irrationale, reelle oder komplexe Zahlen, können addiert werden.
a und b heißen Summanden, a +b b ist dann die Summe.
Es gilt.
1. a + b = b + a  Kommutativgesetz
2. a + (b + c) = (a+b) + c = a + b + c  Assoziativgesetz.

Grundrechenarten testen