Quadrant

Quadranten

Bei der Benutzung eines (kartesischen) Koordinatensystems wird die Ebene in vier Teile geteilt - Quadranten.
Für die Koordinaten eines Punktes P(x; y) in den Quadranten gilt dann:
1. Quadrant: x>0, y>0
2. Quadrant: x<0, y>0
3. Quadrant: x<0, y<0
4. Quadrant: x>0, y<0

Basiswinkel

Basiswinkel

Als Basiswinkel werden die gleichgroßen Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks bezeichnet.

In dem Dreieck seien die Seiten a und b gleichlang - die Schenkel des Dreiecks. Die Seite c wird dann als Basis bezeichnet.

Ein Beweis: CD sei die Höhe auf die Seite c. Dann sind die Winkel BDC und ADC jeweils 90° groß. (Höhe steht senkrecht auf einer Seite. Die Strecke CD gehört zum Dreieck ADC, aber auch zum Dreieck BCD. Die beiden Dreiecke stimmen also in CD, a und b (gleichschenklig) überein und haben jeweils einen rechten Winkel. Damit sind sie nach sSw kongruent zueinander. Das heißt α und β, die der jeweils gleichen Seite in den Teildreiecken gegenüber liegen, sind gleich groß. q.e.d.

biquadratische Gleichungen

biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen 4. Grades ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e=0 mit b = d = 0. Es bleibt also ax⁴ + cx²  + e=0. (a<>0)

Die Lösung erfolgt durch eine Ersetzung (Substitution) Es wird x² = z gesetzt. Damit wird die Gleichung zu az² + bz + e = 0. Die Lösung einer quadratischen Gleichung ist --> hier <-- beschrieben. Hat man auf diese Art die Werte für z₁ und z₂ ermittelt, sind dann die Werte für x₁ bis x₄ (meist) nicht mehr so schwierig zu berechnen. (Rücksubstitution).

Carlyle-Kreis

Der Kreis von Thomas Carlyle (1795-1881)

Für das Auffinden von Nullstellen von quadratischen Funktionen der Form y = f(x) = x² + px + q wird ein Kreis - der Carlylekreis benutzt

Das Verfahren ist ein Spezialfall des Verfahrens von Capitain Lill. (Finden von Nullstellen von beliebigen ganzzahligen rationalen Funktionen.) So wird also dann auch vom Lillkreis gesprochen.

Der Carlylekreis zur Funktion y = f(x) = x² + px + q hat seinen Mittelpunkt M in der Mitte der Strecke AD und verläuft durch die Punkte A und D. Für die Punkte gilt: A (0;1) und D (-p;q). Die Koordinaten von M sind dann $$ \left(-\frac{p}{2} ; \frac{q+1}{2}\right) $$ Der Radius dieses Kreises ist dann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras leicht bestimmbar: $$ r = \sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}} $$

Jetzt wird gezeigt, dass die Nullstellen des Kreises auch die Nullstellen der Parabel sind.

Für einen Kreis mit dem Mittelpunkt M (a; b) und dem Radius r gilt (x-a)² + (y-b)² = r².

Das wird zu: $$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{q+1}{2}\right)^2 = \frac{p^2 + (q-1)^2}{4} $$

Um die Nullstellen des Kreises zu bestimmen wird (wie immer) y = 0 gesetzt. Das ergibt dann:

$$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \left( \frac{q+1}{2}\right)^2 = \frac{p^2 + (q-1)^2}{4} $$

$$ \frac{(2x+p)^2}{4} + \frac{(q+1)^2}{4} = \frac{p^2 + (q-1)^2}{4} \| {} \cdot 4 $$

$$ (2x+p)^2 + (q+1)^2 = p^2 + (q-1)^2 $$

$$ 4x^2 + 4px + p^2 + q^2 + 2q + 1 = p^2 + q^2 -2q +1 \| {}-(p^2 + q^2 -2q +1) $$

$$ 4x^2 + 4px + 4p = 0 \| {}: 4 $$

$$ x^2 + px + p = 0 $$

Das aber ist auch die Ausgangsformel für die Ermittlung der Nullstellen der quadratischen Funktion y = f(x) = x² + px + q, denn auch dort ist y = 0 zu setzen.

Schneidet der (immer konstruierbare) Kreis die x-Achse nicht, so besitzt auch die entsprechende Normalparabel keine Nullstellen. Berührt der Kreis die x- Achse, so gibt es eine bzw. zwei zusammen fallende  Nullstellen.

Zum Probieren noch eine Geogebrabra-Datei: --> hier <--

Satz von Viviani

Satz von Viviani

Der Satz von Viviani (ital. Mathematiker (1622 - 1703)) bezieht sich auf das gleichseitige Dreieck.

Für jeden Punkt P im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks gilt, dass die Summe der Abstände zu den Seiten gleich ist. Wird die Höhe des Dreiecks mit h bezeichnet so gilt:

a_a + a_b + a_c = h

Osterformel

Osterformel

Kurz gesagt, ist der Ostersonntag, der erste Sonntag nach der ersten Vollmond nach Frühlingsanfang, der auf den 21.3. eines Jahres festgelegt ist.
Grundlage für die Berechnung ist die von Dr. Heiner Lichtenberg modifizierte Osterformal nach Gauss.

Diese Berechnung ist geeignet ab dem Jahr 0, kann aber - astronomisch gesehen Fehler enthalten.
Es werden für 100 Jahre die Osterdaten ermittelt. (Sollte durch Rundungsfehler der 26. oder 27. April  angezeigt werden, so sind 7 Tage abzuziehen.)

Osterberechnung

eine Quelle

Teilbarkeitsregel und Euro

Teilbarkeitsregel und der Euro

Fermatpunkt

Fermatpunkt

Quantoren

Quantoren

Tangenten an Parabeln

Euklid-Mullin-Folgen

Euklid-Mullin-Folgen

Pyramiden

Pyramiden

Pyramiden sind Körper. Der Name ist von den ägytischen Pyramiden "übernommen".
Es gibt eine n-eckige Grundfläche A_G (Dreieck, Viereck, ...) und n Dreiecksflächen (A₁, A₂, ..., A_n bilden den Mantel der Pyramide), die alle einen gemeinsamen Punkt aufweisen - die Spitze der Pyramide. Liegt die Spitze senkrecht über dem "Mittelpunkt" der Grundfläche, so spricht man von einer geraden Pyramide. Ansonsten hat man eine schiefe Pyramide. Der (senkrechte) Abstand zwischen Grundfläche (bzw. der Ebene auf der die Grundfläche liegt) und der Spitze ist die Höhe h der Pyramide.
allgemeine Formeln:
{tex} V = \frac{1}{3} \cdot A_G h {/tex}
{tex} A_O = A_G + A_M = A_G + A_1 + A_2 + ... + A_n{/tex}
Sind Grund- und Mantelflächen gleichseitige Dreiecke, so nennt man diese Pyramide auch Tetraeder (einer der platonischen Körper)
Formeln:
{tex}V = \frac{sqrt 2}{12} \cdot a^3{/tex}
{tex} A_O = sqrt 3 \cdot a^2 {/tex}
eine weitere Pyramide - gerade rechteckige Pyramide

Grundfläche: {tex} A_G = a \cdot b {/tex}

Volumen: {tex} V = \frac {1}{3} \cdot  a b h \\ V = \frac {1}{3} \cdot  A_G h {/tex}

Die Mantelfläche besteht aus zwei verschiedenen Dreiecken A₁ und A₂, für deren Flächeninhalte die Seitenhöhen h_a und h_b benötigt werden. Diese Seitenhöhen lassen sich mit dem Satz des Pythagoras ganz schnell ermitteln.
{tex} h_a = sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2} {/tex}
{tex} h_b = sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} {/tex}
{tex} A_1 = \frac {1}{2} \cdot a h_a {/tex}
{tex} A_2 = \frac {1}{2} \cdot b h_b {/tex}
{tex} A_O = A_G + 2 \cdot A_1 + 2 \cdot A_2{/tex}

Wenn man mag, so kann man die letzte Formel dann auch so zusammenfassen:
{tex} A_O = A_G + a \cdot h_a + b \cdot h_b{/tex} *

oder aber auch so:
{tex} A_O = A_G + a \cdot sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2}  + b \cdot sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}{/tex}

* gefällt mir besser - ist aber Geschmackssache

Für eine gerade quadratische Pyramide setzt man a = b und verwendet dann entsprechend nur noch a und erhält:
{tex} V = \frac{1}{3} \cdot a^2 h{/tex}

{tex} A_O = A_G + 4 \cdot A_1{/tex}
{tex} h _a = sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}{/tex}
{tex} A_O = a^2 + 2 a h_a{/tex}
{tex} A_O = a^2 + 2 a sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}{/tex}

Die Berechnung von quadratischen Pyramiden bei denen der Fußpunkt der Höhe auf einer der Diagonalen kann mittels der --> Geogebradatei <-- untersucht werden.

Tangentenviereck

Tangentenviereck

Junktion

Junktion

Pyramidion

Pyramidion