Satz von Miquel

Der Satz von Miquel (für Dreiecke)

Der Name des Satzes geht auf den französischen Mathematiker Auguste Miquel (1816 - 1851) zurück.

In einem beliebigen Dreieck ABC wird auf jeder der Dreiecksseiten je ein beliebiger Punkt festgelegt - hier heißen die D, E und F.
Konstruiert man die Kreise, die durch einen Eckpunkt und zwei festgelegte Punkte auf den anliegenden Seiten verlaufen (Kreise AEF, BDF und CDE) so schneiden sich diese Kreise in einem Punkt M - dem Miquelpunkt.

Außerdem gilt: Verbindet man den Punkt M mit denD, E bzw. F - im Bild sind es die grünen Strecken, so sind die Winkel zwischen den (grünen) Strecken und den Dreiecksseiten immer gleich groß. (Die 53,2° sind nur ein Beispiel.)

silberner Schnitt

silberner Schnitt

Den goldenen Schnitt kennen viele. In der Kunst, bei Herrn Fibonacci, in der Natur, .... --> ein Beispiel <--
Beschrieben wird hier die "innere" Teilung.

Die Strecke a (AB) wird im inneren durch den Punkt S₁ in die Teilstrecken a₁ und a₂ geteilt. (*a₁ wird hier als größere Teilstrecke verwendet.)
Beim goldenen Schnitt gilt bekanntlich
{tex} \frac{a_1}{a_2}= \frac{a}{a_1}= \frac{a_1+a_2}{a_1}{/tex}
In Worten: Das längere Teilstück verhält sich zum kurzen Teilstück wie die gesamte Strecke zum längeren Teilstück.
Der silberne Schnitt hat nun diese Formel
{tex} \frac{a_1}{a_2}=  \frac{2a_1+a_2}{a_1}{/tex}
Wird diese Gleichung mit a₁a₂ multipliziert ergibt das:

a₁²=2a₁a₂ + a₂²
Die Lösung dieser Gleichung nach a₁ ist dann
{tex}a_1= a_2 \cdot (1 \pm sqrt(2)) {/tex}
Wegen * würde man nur das + nehmen.
Wie man das konstruiert wird, wird mal noch ergänzt.
Und ja man könnte noch mehr "metallene" Schnitte kreieren: Mit  beliebigem n (natürliche Zahl größer 2)
{tex} \frac{a_1}{a_2}=  \frac{n \cdot a_1+a_2}{a_1}{/tex}

Altersquotient

Altersquotient

Altersquotient ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Es ist der Quotient aus dem Anteil der nicht mehr berufstätigen Bevölkerung und dem Anteil der im Berufsleben stehenden Menschen.
An dieser Definition sieht man, dass es ein etwas schwammiger und sich verändernder Wert ist.
--> siehe Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung <--

Der reziproke Wert des Altersquotienten ist dann der Jugendquotient.

Wanderungsgewinn

Wanderungsgewinn

Wanderungsgewinn ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Man versteht darunter die Differenz von Menschen, die innerhalb eines Jahres(meistens, auch andere Zeiträume üblich) aus einem Land einwandern und denen, die in diesem Zeitraum auswandern.
je nach Wichtigkeit und Bedarf wird zwischen Wanderungsgewinnen zwischen Kreisen, Stadt-Land, Bundesländern und Nationalstaaten unterschieden.
Der Wanderungsgewinn und z. B. die Geburtenrate sind wichtige Daten zur Prognose über den Ausbau des öffentlichen Dienstes, der Planung von Steueraufkommen und und und.
Daten für Sachsen

Matt Parker Zahl

Matt Parker Zahl

Matt Parker ist der Autor von "Auch Zahlen haben Gefühle" - eine merkwürdige Übersetzung des Originaltitels "Things to make and Do in the Fourth Dimension".
(ISBN 978-3-498-05241 6) - Ich kann es sehr empfehlen.
Die Matt Parker Zahl steht auf Seite 69 der deutschen Aufgabe. (Er hat sie entdeckt, würde sie auch vielleicht so nennen, aber traut sich nicht, also mach ich es für ihn).

Es ist die Zahl: 90 525 801 730

Es ist eine besondere figurierte Zahl und zugleich eine Pyramidenzahl.
Da man solche Zahlen auch gut mit Apfelsinen darstellen kann, findet man Informationen dazu beispielsweise in Aufgabe 347 (Serie 29) und Aufgabe 453 (Serie 38).

Eine solche Zahl ist die 10. Eine Dreieckszahl
x
xx
xxx
xxxx
Aus 10 "Apfelsinen" lässt sich aber auch eine dreiseitige Pyramide stapeln.
Matt suchte nun Zahlen, die man einerseits braucht um eine n-seitige Fläche zu legen, aber auch eine n-seitige Pyramiden zu stapeln.
So ist 4900 die einzige Zahl, aus der sich ein 70x70 Quadrat, aber auch eine 4 seitige Pyramide stapeln kann (besteht aus 24 Schichten).

90 525 801 730 Apfelsinen werden gebraucht um eine 31 265-Ecksfigur mit der Kantenlänge von 2407 zu legen. Man aber daraus auch eine 259-stufige Pyramide stapeln, deren Grundfläche 31 265 Ecken hat.

Matt Parker hat als erster diese Eigenschaft der Zahl 90 525 801 730 herausgefunden, Glückwunsch.

Münchhausenzahl

Münchhausenzahl

Die Bezeichnung einer solchen Zahl geht auf den legendären Baron Münchhausen zurück.
Auf dem Bild (Notgeld der Stadt Rinteln) sieht man, dass der Baron sich selber aus dem Sumpf zieht. (Für ihn gilt also das Wechselwirkungsgesetz von I. Newton nicht).

So ist dann auch eine Münchhausenzahl gedacht.
Man nimmt die Ziffern einer natürlichen Zahl n und potenziert diese mit sich selbst. Anschließend werden die Potenzen addiert. Ist die Summe der Potenzen gleich der Zahl an, so wird n eine Münchhausenzahl genannt.
Die langweilige Münchhausenzahl ist die 1, denn 1¹=1.

Die einzige bekannte (interessante) Münchhausenzahl ist die 3435. Es gilt 3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵ = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435.
(Anmerkungen: 3435 - einzig bekannte Münchhausenzahl (außer 1) im dekadischen Zahlsystem, wenn nicht geschummelt wird und 0⁰=0, statt 0⁰=1 verwendet wird. Einen Beweis für die Einzigartigkeit habe ich nicht gefunden.)
Ist die Basis der Zahl n die 12, so ist 3A67A54832 auch eine Münchhausenzahl. (Im dekadischen System ist das die Zahl 20017650854.)

Goniometrie

Goniometrie

Die Goniometrie (griech: gonia - Winkel, metrein - messen) ist ursprünglich die Lehre vom Winkelmessen.
Es ist aber nicht das Zeichnen oder Messen von Winkeln gemeint, sondern das Rechnen mit Winkelfunktionen bzw. das Lösen von Gleichungen, die auf Winkelfunktionen basieren - trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan).
Die trigonometrischen Funktionen sind also eher ein Teilgebiet der Goniometrie.
Um goniometrische Gleichungen zu lösen, werden meist numerische oder grafische Näherungsverfahren (Nullstellen) verwendet, da es für die meisten gon. Gleichungen keine Lösungsformel gibt.
tan x - 2x = 0 Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
sin (4x) - 2x = 0 hat genau 3 Lösungen +-0,47387356.. und 0

zyklische Primzahlen

zyklische Primzahlen

Unter zyklischen Primzahlen versteht man Primzahlen, die nach jedem zyklischen Tauschen der Ziffern wieder auf Primzahlen führen.
Ziffern mit a, b, c , ... bezeichnet.

ab --> ba --> ab --> Beispiel 13 --> 31 --> 13

abc --> bca --> cab --> Beispiel 197 --> 971 --> 719 --> 197

abcd --> bcda --> cdab --> dabc --> abcd --> Beispiel 1931 --> 9311 --> 3119 --> 1193 --> 1931

zum Weiterlesen: http://primes.utm.edu/glossary/xpage/CircularPrime.html

Primzahlformel

Primzahlformel

Eine Primzahlformel gibt es leider (bisher?) nicht. Gemeint ist hier eine Formel, die entweder alle Primzahlen liefert oder doch zumindest als Lösung immmer Primzahlen liefert.
Eine der bekanntesten Formeln dieser Art ist y=n²+n+41. Diese Formel liefert für viele n (n- natürliche Zahl) Primzahlen, nicht immer, aber erstaunlich oft.

--> Primzahltest im Lexikon <--

Newton-Gerade

Newton-Gerade

In einem konvexen Viereck ABCD - mit maximal einem Paar zueinander paralleler Seiten - seien die Punkte E und F die Mittelpunkte der Diagonalen. Die Gerade durch E und F heißt Newton-Gerade. Isaac Newton bewies, wenn ein solches Viereck einen Innenkreis besitzt, liegt dessen Mittelpunkt auf der Gerade durch E und F - der Newton-Geraden g.
Verbindet man die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten eines solches Vierecks miteinander., so liegt der Schnittpunkt der Schnittpunkte der Verbindungsgeraden ebenfalls auf der Geraden g.
(Anmerkung: Sind zwei Paare paralleler Seiten in einem konvexen Viereck vorhanden, so halbieren sich die Diagonalen wechselseitig. Damit wäre die Lage einer solchen Geraden g nicht eindeutig.)

Stirling Formel

Stirling Formel

Die Stirling-Formel wurde 1720 von dem schottischen Mathematiker James Stirling (1692 -1770) entdeckt. (Nicht zu verwechseln mit Robert Stirling, der den Stirlingmotor entwickelt hat)

{tex}n! \appro \sqrt{(2 \cdot \Pi \cdot n)} \cdot n^n \cdot e^{-n}{/tex}

Die Formel liefert eine gute Näherung für die Berechnung von n! (sprich n-Fakultät).
Dabei gilt, dass die Formel immer einen Wert liefert, der immer etwas kleiner ist als n!, aber mit größer werdendem n wird die Abweichung immer kleiner - wie man auch an der Tabelle sehen kann.
n! wird u. a. in der Kombinatorik häufig gebraucht, aber auch in der Physik ist diese Angabe von Bedeutung.

Ursprung

Ursprung

Ursprung (in der Mathematik) ist die Bezeichnung für den Ausgangspunktes eines Koordinatensystems.
Im cartesischen System schneiden sich an der Stelle die x-Achse und y-Achse.
Gibt es zwei Koordinaten sind hat der Ursprung die Koordinaten (0; 0). Bei drei Koordinaten (0; 0; 0) ...

Nagelpunkt

Nagelpunkt eines (ebenen) Dreiecks

Bei Nagelpunkt handelt es sich nicht um den berühmten Nagel, an den man was (zum Beispiel Boxhandschuhe oder so) hängt, wenn was vorbei ist. Also kein Nagel zum Hinhängen von Dreiecken.
Benannt ist der Punkt nach Christian Heinrich von Nagel, der die Existenz dieses besonderen Punktes eines Dreiecks nachweisen konnte.

--> Bild groß <--| --> geogebra <--

Es gibt ein Dreieck ABC. An dieses werden die Ankreise konstruiert. Die Ankreise berühren jeweils eine Seite des Dreiecks (X auf a, Y auf b und Z auf c). Die Berührungspunkte X, Y und Z werden mit den gegenüberliegenden Eckpunkten verbunden. Die drei Strecken treffen sich (immer) in einem Punkt N, dem Nagelpunkt.
Auf dem Bild sieht man noch die Punkte I (Mittelpunkt des Inkreises) und S (Schwerpunkt des Kreises). Wenn die Punkte nicht zusammenfallen, wie z. B. beim gleichseitigen Dreieck, dann liegen die drei Punkte auf einer Geraden, der Nagelgeraden. Dabei gilt außerdem, dass die Strecke SN doppelt so groß ist wie die Strecke SI.

Satz von Ceva

Satz von Ceva

Dieser Satz des italienischen Mathematikers Ceva (1647 bis 1734) ist einer der unzähligen, aber schönen Sätze, die in einem (ebenen) Dreieck gelten.
--> großes Bild <-- --> geogebra-Datei <--

Auf den Seiten a, b, c eines Dreiecks ABC (oder auch deren Verlängerungen) werden Punkte X (auf Seite a ), Y (auf Seite b) und Z (auf Seite c) verwendet. A wird mit X, B mit Y und C mit Z verbunden. Wenn sich die drei Verbindungslinien in einem Punkt schneiden, dann gilt für die Streckenabschnitte:
$$ \frac{AZ}{ZB} \cdot \frac{BX}{XC} \cdot \frac{CY}{YA} = 1 $$

Eine entsprechende Abbildung zu dem Satz befindet sich auf einem Briefmarkenblock, der anlässlich der Mathematikolympiade 2016 kreiert wurde.

Kettenbrüche

Kettenbrüche

Ein spezielle Form von Brüchen sind Kettenbrüche.
in dem Artikel geht es hier um reguläre Kettenbrüche, das sind solche, die in den Zählern nur 1 aufweisen.

Jeder gemeine Bruch (also Form {tex} \frac{a}{b}{/tex} mit a und b natürliche Zahlen verschieden von Null lässt sich in einen Kettenbruch umwandeln.
{tex}\frac{4}{7} = \frac{1}{\frac{7}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{4}{3}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}{/tex}

Es gibt dafür auch eine Kurzschreibweise. [0;1,1,3] Die Null steht hier, weil es ein echter Bruch ist. {tex} \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7}{/tex} sehe dann so aus: [3;1,1,3]
Hat man einen Kettenbruch gegeben, so kann man von unten nach oben rechnend den Kettenbruch in einen gemeinen Bruch verwandeln.
(Gegenstand der Wochenaufgabe 485 - Lösungstermin: 04.02.2016)
Es gibt auch periodische Kettenbrüche Kurzformbeispiel: [3; 1,1,1,1,6] das ist das Ergebnis von Wurzel(13) in einen Kettenbruch. Bricht man den periodischen Kettenbruch irgendwo ab, so erhält eine Näherungsbruch {tex} \frac{a}{b}{/tex} für Wurzel(13).
Ein historisches Beispiel der Anwendung:
Hyugens wollte ein Planetariumsmodell schaffen. Seine Berechnungen führten dazu, dass er für den Umlauf Erde - Merkur Zahnräder mit 21038 bzw. 8067 Zähnen gebraucht hätte. Also ein Verhältnis {tex} \frac{21038}{8067}{/tex}. Solche Zahnräder konne er aber nicht konstruieren, also suchte er nach ein[4;6,1,1]={tex} \frac{54}{13}{/tex}er Übersetzung, die möglichst genau sein sollte, aber immer noch konstruierbar.
{tex} \frac{21038}{8067}{/tex} führt auf den Kettenbruch [4;6,1,1,2,1,1,1,1,7,1,2].
Näherungen
[4] = 4
[4;6] = {tex} \frac{25}{6}{/tex}
[4;6,1] = {tex} \frac{29}{7}{/tex}
[4;6,1,1]={tex} \frac{54}{13}{/tex}
[4;6,1,1,2]={tex} \frac{137}{33}{/tex}
Das letzte Verhältnis hätte Huygens nehmen können, denn zwei solche Zahnräder konnte er noch herstellen.
[4;6,1,1,2,1]={tex} \frac{191}{46}{/tex}
[4;6,1,1,2,1,1]={tex} \frac{328}{79}{/tex}
[4;6,1,1,2,1,1,1]={tex} \frac{519}{125}{/tex}
[4;6,1,1,2,1,1,1]={tex} \frac{847}{204}{/tex}
...
Der Bruch {tex} \frac{847}{204}{/tex} also eine sehr gute Näherung war für das Getriebe noch besser geeignet, weil er es mit 4 Zahnrädern realisieren konnte: 847=7*121 und 204 = 12*17