Zebrazahlen

Zebrazahlen
(dekadisches Zahlensystem)

Bekanntlich haben Zebras Streifen, schwarz-weiß- schwarz-weiß ..

Nach  diesem Muster lassen sich auch "Zebrazahlen" bilden, wobei keine führende Nullen dabei sein dürfen. Kleinstes Muster hat die Form aba. Dann käme abab, ababa, ...
Gruppe 1: Es werden zwei verschiedene einstellige Zahlen a und b genommen, die dann in der Zebrazahl abwechselnd auftreten. Die kleinste Zebrazahl der Gruppe 1 wäre 121, die größte dreistellige Zebrazahl 989. (Anmerkung Es gibt Menschen, die meinen es gäbe nur Zebrazahlen der Gruppe 1, aber...)

Gruppe 2: Es werden zwei verschiedene zweistellige Zahlen a und b genommen, die dann in der Zebrazahl abwechselnd auftreten. Dabei darf die letzte Ziffer von a nicht der ersten Ziffer von b entsprechen und umgekehrt. Edle Zebrazahlen sind dann die, welche nur zwei verschiedene Ziffern aufweisen:
Beispiele: 11221122112211 - edel, 123412341234 unedel

...

Gruppe n: Es werden zwei verschiedene n-stellige Zahlen a und b genommen, die dann in der Zebrazahl abwechselnd auftreten. Dabei darf die letzte Ziffer von a nicht der ersten Ziffer von b entsprechen und umgekehrt. Edle Zebrazahlen sind dann die, welche nur zwei verschiedene Ziffern aufweisen.
Beispiel n=6: 333333666666333333666666 - edel, 1233345200002123334520000212333452000021233345 - unedel

Wie man leicht sieht, gibt es Zebrazahlen, die auch palindrom sind - auch Radarzahlen genannt. Z. B. 23232 (Gruppe 1) oder 2255225522 (Gruppe 2).

Palindrome

Palindrome

Palindrome kennt man vielleicht eher aus dem Bereich der Sprache. Es sind Worte, Satzgruppen oder auch ganze Sätze, die von vorn nach hinten gelesen den gleichen Wortsinn ergeben wie von hinten nach vorn.
Beispiele: RADAR,  AnnA, OttO, RentneR, Reliefpfeiler, Hanne sah Hasen nah.Sei mein, nie fies – sei fein, nie mies.
Palindromzahlen sind also Zahlen, die von vorn nach hinten lesen, dieselbe Zahl ergeben wie von hinten nach vorn.
12321, 225522, ...

Untersuchung zur Anzahl - ohne dass an erster Stelle eine Null stehen darf.
In dem Sinne sind alle einstelligen Zahlen Palindrome. Fängt man mit 1 an sind es 9.
Bei den zweistelligen müssen  die beiden Ziffern gleich sein. 11; 22; ...; 99 Es sind 9 Palindrome.
Bei den dreistelligen Zahlen geht es los mit 101, 111, 121, ... 979, 989, 999. Es sind 90 Palindrome.
Vierstellig: 90 Palindrome, 5- und 6-stellig je 900 Palindrome. 7- und 8-stellig je 9000 Palindrome. ...
Es gibt aber Varianten, wo die führende Null mit dabei ist - siehe den Geldschein weiter unten. Dann muss die Anzahl der Palindrome angepasst werden.
z.B. zweistellig 00, 11, 22, 99 - also 10 Palindrome oder
dreistellig dann kommen zu den obigen 90 noch die 000, 010, 020, ... , 090 hinzu, also sind es dann 100 Palindrome.
Bei mehr Stellen muss man dann entsprechnd anpassen.

Wie lassen sich aus nicht-palindromen Zahlen palindrome Zahlen "konstruieren"?
Eine Variante ist die (fortlaufende) Spiegelzahladdition. Eine Spiegelzahl ist die zur gegebenen Zahl umgekehrt aufgeschriebene Zahl. (Palindrome sind ihre eigenen Spiegelzahlen)
17
17 + 71 = 88
39
39 + 93 = 132
132 + 231 = 363
119
119 + 9111 = 1030
1030 + 0301 = 1331
79
79+97=176
176+671=847
847+748=1595
1595+5951=7546
7546+6457=14003
14003+30041=44044
Nicht immer geht es so schnell wie in den Beispielen, wer etwas Zeit hat, möge es mit der 89 versuchen.
UND es scheint Zahlen zu geben, da führt dieses Verfahren nicht zum Ziel. Die kleinste Zahl, die sich widersetzt, ist die 196. Auch nach mehreren Hundert Millionen Schritten hat sich noch kein Palindrom ergeben, ob das nie sein wird, konnte bisher weder bestätigt noch widerlegt werden. Die 196 wird auch als Lychrel-Zahl bezeichnet.

Dank an J. Gerber, der mir diesen wunderschönen palindromen Schein überlassen hat.
0010100
Da es nur Nullen und Einsen sind, ist der Schein in jedem Stellenwertsystem ein Palindrom. Der abgebildete C. F. Gauß hätte sicher auch Freude an dieser Zahl.
Ein Klick auf das Bild zum Vergrößern.

Das Jahr 2020 hatte ein schönes Palindrom als Datum, wenn man die führenden Nullen "zulässt". 02.02.2020
Die personalisierte Marke, samt FDC zeigt dieses Datum in schöner Form gestaltet. (Klick zum Vergrößern)

Monge, -Ebenen und -Punkt

Gaspard Monge Monge-Ebenen und Mongepunkt

Gaspard Monge (1746 - 1818) war vor allem im Bereich der Geometrie, insbesondere der projektiven Geometrie, tätig.
Er war  auch eine Zeitlang Mitglied der Nationalversammlung von Frankreich. Weniger bekannt ist möglicherweise, dass er es war, der das Todelurteil Ludwig XVI. verlas.

Nun die Monge-Ebene.
ABCD sei ein allgemeiner Tetraeder (die Seiten müssen also nicht gleich groß sein). Es wird nun der Mittelpunkt einer Kante ermittelt. Zum Beispiel ist E der Mittelpunkt der Kante a und F der Mittelpunkt der Kante d. Die Monge-Ebene bezogen auf E ist die Ebene, die durch E verläuft und zwar so, dass sie auch senkrecht zur Kante d verläuft. Es lässt sich leicht zeigen, dass es nur eine solche Ebene gibt. Für jeden Kantenmittelpunkt lässt sich eine solche Ebene finden. Mittelpunkt Kante und "gegenüberliegende Kante".  Für F also durch a.
Alle diese Ebenen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt - den Mongepunkt.

Gnomon

Gnomon

Als Gnomon wird der Schattenzeiger einer Sonnenuhr bezeichnet, wenn dieser senkrecht auf dem Boden steht - im einfachsten Fall ein senkrecht stehender Stab.
Damit erschöpft sich die Verwendung des Begriffs aber nicht.

In dem Bild wurden um die roten Ausgangsfiguren grüne Figuren gezeichnet.
Beim dem Dreieck ist es ein Trapez, bei den Vierecken eine Art "Winkelhaken" und an dem roten Sechseck ist ein grünes 10-Eck dran.
Sind die grüne und rote Fläche zusammen der roten Ausgangsfläche ähnlich, so werden die grünen "Ergänzungsflächen" als Gnomon bezeichnet.

Mercator-Reihe

Mercator-Reihe

Nikolaus Mercator (lateinische Form von Nikolaus Kauffmann, lebte von ca. 1620 bis 1687)
Er war Mathematiker, Astronom und Techniker. Lehrte zuerst in Rostock, anschließend in Kopenhagen. Lebte dann in Paris, zwischenzeitlich in London. (Hier baute er eine Pendeluhr, die genaue Zeitmessungen auf See zur Bestimmung des Längengrade ermöglichte. Mitglied in der Royal Society. Er konstruierte die Fontänen des Parks von Versailles.
Bekannt wurde Mercator durch die Reihenentwicklung für den natürlichen Logarithmus.
$$\Large ln (1+x) = x -\frac{1}{2}\cdot x^2 +\frac{1}{3}\cdot x^3 -\frac{1}{4}\cdot x^4 \pm ...$$

Die ersten Stellen von π

Die ersten Stellen von π

Hier sind die ersten Nachkommastellen π zu finden - rund 11.000
Wer Zahlenmuster finden möchte, sollte beachten, dass zwischen den Stellen immer ein Leerzeichen ist.

3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 3 1 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2 3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 1 3 3 9 3 6 0 7 2 6 0 2 4 9 1 4 1 2 7 3 7 2 4 5 8 7 0 0 6 6 0 6 3 1 5 5 8 8 1 7 4 8 8 1 5 2 0 9 2 0 9 6 2 8 2 9 2 5 4 0 9 1 7 1 5 3 6 4 3 6 7 8 9 2 5 9 0 3 6 0 0 1 1 3 3 0 5 3 0 5 4 8 8 2 0 4 6 6 5 2 1 3 8 4 1 4 6 9 5 1 9 4 1 5 1 1 6 0 9 4 3 3 0 5 7 2 7 0 3 6 5 7 5 9 5 9 1 9 5 3 0 9 2 1 8 6 1 1 7 3 8 1 9 3 2 6 1 1 7 9 3 1 0 5 1 1 8 5 4 8 0 7 4 4 6 2 3 7 9 9 6 2 7 4 9 5 6 7 3 5 1 8 8 5 7 5 2 7 2 4 8 9 1 2 2 7 9 3 8 1 8 3 0 1 1 9 4 9 1 2 9 8 3 3 6 7 3 3 6 2 4 4 0 6 5 6 6 4 3 0 8 6 0 2 1 3 9 4 9 4 6 3 9 5 2 2 4 7 3 7 1 9 0 7 0 2 1 7 9 8 6 0 9 4 3 7 0 2 7 7 0 5 3 9 2 1 7 1 7 6 2 9 3 1 7 6 7 5 2 3 8 4 6 7 4 8 1 8 4 6 7 6 6 9 4 0 5 1 3 2 0 0 0 5 6 8 1 2 7 1 4 5 2 6 3 5 6 0 8 2 7 7 8 5 7 7 1 3 4 2 7 5 7 7 8 9 6 0 9 1 7 3 6 3 7 1 7 8 7 2 1 4 6 8 4 4 0 9 0 1 2 2 4 9 5 3 4 3 0 1 4 6 5 4 9 5 8 5 3 7 1 0 5 0 7 9 2 2 7 9 6 8 9 2 5 8 9 2 3 5 4 2 0 1 9 9 5 6 1 1 2 1 2 9 0 2 1 9 6 0 8 6 4 0 3 4 4 1 8 1 5 9 8 1 3 6 2 9 7 7 4 7 7 1 3 0 9 9 6 0 5 1 8 7 0 7 2 1 1 3 4 9 9 9 9 9 9 8 3 7 2 9 7 8 0 4 9 9 5 1 0 5 9 7 3 1 7 3 2 8 1 6 0 9 6 3 1 8 5 9 5 0 2 4 4 5 9 4 5 5 3 4 6 9 0 8 3 0 2 6 4 2 5 2 2 3 0 8 2 5 3 3 4 4 6 8 5 0 3 5 2 6 1 9 3 1 1 8 8 1 7 1 0 1 0 0 0 3 1 3 7 8 3 8 7 5 2 8 8 6 5 8 7 5 3 3 2 0 8 3 8 1 4 2 0 6 1 7 1 7 7 6 6 9 1 4 7 3 0 3 5 9 8 2 5 3 4 9 0 4 2 8 7 5 5 4 6 8 7 3 1 1 5 9 5 6 2 8 6 3 8 8 2 3 5 3 7 8 7 5 9 3 7 5 1 9 5 7 7 8 1 8 5 7 7 8 0 5 3 2 1 7 1 2 2 6 8 0 6 6 1 3 0 0 1 9 2 7 8 7 6 6 1 1 1 9 5 9 0 9 2 1 6 4 2 0 1 9 8 9 3 8 0 9 5 2 5 7 2 0 1 0 6 5 4 8 5 8 6 3 2 7 8 8 6 5 9 3 6 1 5 3 3 8 1 8 2 7 9 6 8 2 3 0 3 0 1 9 5 2 0 3 5 3 0 1 8 5 2 9 6 8 9 9 5 7 7 3 6 2 2 5 9 9 4 1 3 8 9 1 2 4 9 7 2 1 7 7 5 2 8 3 4 7 9 1 3 1 5 1 5 5 7 4 8 5 7 2 4 2 4 5 4 1 5 0 6 9 5 9 5 0 8 2 9 5 3 3 1 1 6 8 6 1 7 2 7 8 5 5 8 8 9 0 7 5 0 9 8 3 8 1 7 5 4 6 3 7 4 6 4 9 3 9 3 1 9 2 5 5 0 6 0 4 0 0 9 2 7 7 0 1 6 7 1 1 3 9 0 0 9 8 4 8 8 2 4 0 1 2 8 5 8 3 6 1 6 0 3 5 6 3 7 0 7 6 6 0 1 0 4 7 1 0 1 8 1 9 4 2 9 5 5 5 9 6 1 9 8 9 4 6 7 6 7 8 3 7 4 4 9 4 4 8 2 5 5 3 7 9 7 7 4 7 2 6 8 4 7 1 0 4 0 4 7 5 3 4 6 4 6 2 0 8 0 4 6 6 8 4 2 5 9 0 6 9 4 9 1 2 9 3 3 1 3 6 7 7 0 2 8 9 8 9 1 5 2 1 0 4 7 5 2 1 6 2 0 5 6 9 6 6 0 2 4 0 5 8 0 3 8 1 5 0 1 9 3 5 1 1 2 5 3 3 8 2 4 3 0 0 3 5 5 8 7 6 4 0 2 4 7 4 9 6 4 7 3 2 6 3 9 1 4 1 9 9 2 7 2 6 0 4 2 6 9 9 2 2 7 9 6 7 8 2 3 5 4 7 8 1 6 3 6 0 0 9 3 4 1 7 2 1 6 4 1 2 1 9 9 2 4 5 8 6 3 1 5 0 3 0 2 8 6 1 8 2 9 7 4 5 5 5 7 0 6 7 4 9 8 3 8 5 0 5 4 9 4 5 8 8 5 8 6 9 2 6 9 9 5 6 9 0 9 2 7 2 1 0 7 9 7 5 0 9 3 0 2 9 5 5 3 2 1 1 6 5 3 4 4 9 8 7 2 0 2 7 5 5 9 6 0 2 3 6 4 8 0 6 6 5 4 9 9 1 1 9 8 8 1 8 3 4 7 9 7 7 5 3 5 6 6 3 6 9 8 0 7 4 2 6 5 4 2 5 2 7 8 6 2 5 5 1 8 1 8 4 1 7 5 7 4 6 7 2 8 9 0 9 7 7 7 7 2 7 9 3 8 0 0 0 8 1 6 4 7 0 6 0 0 1 6 1 4 5 2 4 9 1 9 2 1 7 3 2 1 7 2 1 4 7 7 2 3 5 0 1 4 1 4 4 1 9 7 3 5 6 8 5 4 8 1 6 1 3 6 1 1 5 7 3 5 2 5 5 2 1 3 3 4 7 5 7 4 1 8 4 9 4 6 8 4 3 8 5 2 3 3 2 3 9 0 7 3 9 4 1 4 3 3 3 4 5 4 7 7 6 2 4 1 6 8 6 2 5 1 8 9 8 3 5 6 9 4 8 5 5 6 2 0 9 9 2 1 9 2 2 2 1 8 4 2 7 2 5 5 0 2 5 4 2 5 6 8 8 7 6 7 1 7 9 0 4 9 4 6 0 1 6 5 3 4 6 6 8 0 4 9 8 8 6 2 7 2 3 2 7 9 1 7 8 6 0 8 5 7 8 4 3 8 3 8 2 7 9 6 7 9 7 6 6 8 1 4 5 4 1 0 0 9 5 3 8 8 3 7 8 6 3 6 0 9 5 0 6 8 0 0 6 4 2 2 5 1 2 5 2 0 5 1 1 7 3 9 2 9 8 4 8 9 6 0 8 4 1 2 8 4 8 8 6 2 6 9 4 5 6 0 4 2 4 1 9 6 5 2 8 5 0 2 2 2 1 0 6 6 1 1 8 6 3 0 6 7 4 4 2 7 8 6 2 2 0 3 9 1 9 4 9 4 5 0 4 7 1 2 3 7 1 3 7 8 6 9 6 0 9 5 6 3 6 4 3 7 1 9 1 7 2 8 7 4 6 7 7 6 4 6 5 7 5 7 3 9 6 2 4 1 3 8 9 0 8 6 5 8 3 2 6 4 5 9 9 5 8 1 3 3 9 0 4 7 8 0 2 7 5 9 0 0 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5 9 5 8 8 9 7 0 6 9 5 3 6 5 3 4 9 4 0 6 0 3 4 0 2 1 6 6 5 4 4 3 7 5 5 8 9 0 0 4 5 6 3 2 8 8 2 2 5 0 5 4 5 2 5 5 6 4 0 5 6 4 4 8 2 4 6 5 1 5 1 8 7 5 4 7 1 1 9 6 2 1 8 4 4 3 9 6 5 8 2 5 3 3 7 5 4 3 8 8 5 6 9 0 9 4 1 1 3 0 3 1 5 0 9 5 2 6 1 7 9 3 7 8 0 0 2 9 7 4 1 2 0 7 6 6 5 1 4 7 9 3 9 4 2 5 9 0 2 9 8 9 6 9 5 9 4 6 9 9 5 5 6 5 7 6 1 2 1 8 6 5 6 1 9 6 7 3 3 7 8 6 2 3 6 2 5 6 1 2 5 2 1 6 3 2 0 8 6 2 8 6 9 2 2 2 1 0 3 2 7 4 8 8 9 2 1 8 6 5 4 3 6 4 8 0 2 2 9 6 7 8 0 7 0 5 7 6 5 6 1 5 1 4 4 6 3 2 0 4 6 9 2 7 9 0 6 8 2 1 2 0 7 3 8 8 3 7 7 8 1 4 2 3 3 5 6 2 8 2 3 6 0 8 9 6 3 2 0 8 0 6 8 2 2 2 4 6 8 0 1 2 2 4 8 2 6 1 1 7 7 1 8 5 8 9 6 3 8 1 4 0 9 1 8 3 9 0 3 6 7 3 6 7 2 2 2 0 8 8 8 3 2 1 5 1 3 7 5 5 6 0 0 3 7 2 7 9 8 3 9 4 0 0 4 1 5 2 9 7 0 0 2 8 7 8 3 0 7 6 6 7 0 9 4 4 4 7 4 5 6 0 1 3 4 5 5 6 4 1 7 2 5 4 3 7 0 9 0 6 9 7 9 3 9 6 1 2 2 5 7 1 4 2 9 8 9 4 6 7 1 5 4 3 5 7 8 4 6 8 7 8 8 6 1 4 4 4 5 8 1 2 3 1 4 5 9 3 5 7 1 9 8 4 9 2 2 5 2 8 4 7 1 6 0 5 0 4 9 2 2 1 2 4 2 4 7 0 1 4 1 2 1 4 7 8 0 5 7 3 4 5 5 1 0 5 0 0 8 0 1 9 0 8 6 9 9 6 0 3 3 0 2 7 6 3 4 7 8 7 0 8 1 0 8 1 7 5 4 5 0 1 1 9 3 0 7 1 4 1 2 2 3 3 9 0 8 6 6 3 9 3 8 3 3 9 5 2 9 4 2 5 7 8 6 9 0 5 0 7 6 4 3 1 0 0 6 3 8 3 5 1 9 8 3 4 3 8 9 3 4 1 5 9 6 1 3 1 8 5 4 3 4 7 5 4 6 4 9 5 5 6 9 7 8 1 0 3 8 2 9 3 0 9 7 1 6 4 6 5 1 4 3 8 4 0 7 0 0 7 0 7 3 6 0 4 1 1 2 3 7 3 5 9 9 8 4 3 4 5 2 2 5 1 6 1 0 5 0 7 0 2 7 0 5 6 2 3 5 2 6 6 0 1 2 7 6 4 8 4 8 3 0 8 4 0 7 6 1 1 8 3 0 1 3 0 5 2 7 9 3 2 0 5 4 2 7 4 6 2 8 6 5 4 0 3 6 0 3 6 7 4 5 3 2 8 6 5 1 0 5 7 0 6 5 8 7 4 8 8 2 2 5 6 9 8 1 5 7 9 3 6 7 8 9 7 6 6 9 7 4 2 2 0 5 7 5 0 5 9 6 8 3 4 4 0 8 6 9 7 3 5 0 2 0 1 4 1 0 2 0 6 7 2 3 5 8 5 0 2 0 0 7 2 4 5 2 2 5 6 3 2 6 5 1 3 4 1 0 5 5 9 2 4 0 1 9 0 2 7 4 2 1 6 2 4 8 4 3 9 1 4 0 3 5 9 9 8 9 5 3 5 3 9 4 5 9 0 9 4 4 0 7 0 4 6 9 1 2 0 9 1 4 0 9 3 8 7 0 0 1 2 6 4 5 6 0 0 1 6 2 3 7 4 2 8 8 0 2 1 0 9 2 7 6 4 5 7 9 3 1 0 6 5 7 9 2 2 9 5 5 2 4 9 8 8 7 2 7 5 8 4 6 1 0 1 2 6 4 8 3 6 9 9 9 8 9 2 2 5 6 9 5 9 6 8 8 1 5 9 2 0 5 6 0 0 1 0 1 6 5 5 2 5 6 3 7 5 6 7 8 5 6 6 7 2 2 7 9 6 6 1 9 8 8 5 7 8 2 7 9 4 8 4 8 8 5 5 8 3 4 3 9 7 5 1 8 7 4 4 5 4 5 5 1 2 9 6 5 6 3 4 4 3 4 8 0 3 9 6 6 4 2 0 5 5 7 9 8 2 9 3 6 8 0 4 3 5 2 2 0 2 7 7 0 9 8 4 2 9 4 2 3 2 5 3 3 0 2 2 5 7 6 3 4 1 8 0 7 0 3 9 4 7 6 9 9 4 1 5 9 7 9 1 5 9 4 5 3 0 0 6 9 7 5 2 1 4 8 2 9 3 3 6 6 5 5 5 6 6 1 5 6 7 8 7 3 6 4 0 0 5 3 6 6 6 5 6 4 1 6 5 4 7 3 2 1 7 0 4 3 9 0 3 5 2 1 3 2 9 5 4 3 5 2 9 1 6 9 4 1 4 5 9 9 0 4 1 6 0 8 7 5 3 2 0 1 8 6 8 3 7 9 3 7 0 2 3 4 8 8 8 6 8 9 4 7 9 1 5 1 0 7 1 6 3 7 8 5 2 9 0 2 3 4 5 2 9 2 4 4 0 7 7 3 6 5 9 4 9 5 6 3 0 5 1 0 0 7 4 2 1 0 8 7 1 4 2 6 1 3 4 9 7 4 5 9 5 6 1 5 1 3 8 4 9 8 7 1 3 7 5 7 0 4 7 1 0 1 7 8 7 9 5 7 3 1 0 4 2 2 9 6 9 0 6 6 6 7 0 2 1 4 4 9 8 6 3 7 4 6 4 5 9 5 2 8 0 8 2 4 3 6 9 4 4 5 7 8 9 7 7 2 3 3 0 0 4 8 7 6 4 7 6 5 2 4 1 3 3 9 0 7 5 9 2 0 4 3 4 0 1 9 6 3 4 0 3 9 1 1 4 7 3 2 0 2 3 3 8 0 7 1 5 0 9 5 2 2 2 0 1 0 6 8 2 5 6 3 4 2 7 4 7 1 6 4 6 0 2 4 3 3 5 4 4 0 0 5 1 5 2 1 2 6 6 9 3 2 4 9 3 4 1 9 6 7 3 9 7 7 0 4 1 5 9 5 6 8 3 7 5 3 5 5 5 1 6 6 7 3 0 2 7 3 9 0 0 7 4 9 7 2 9 7 3 6 3 5 4 9 6 4 5 3 3 2 8 8 8 6 9 8 4 4 0 6 1 1 9 6 4 9 6 1 6 2 7 7 3 4 4 9 5 1 8 2 7 3 6 9 5 5 8 8 2 2 0 7 5 7 3 5 5 1 7 6 6 5 1 5 8 9 8 5 5 1 9 0 9 8 6 6 6 5 3 9 3 5 4 9 4 8 1 0 6 8 8 7 3 2 0 6 8 5 9 9 0 7 5 4 0 7 9 2 3 4 2 4 0 2 3 0 0 9 2 5 9 0 0 7 0 1 7 3 1 9 6 0 3 6 2 2 5 4 7 5 6 4 7 8 9 4 0 6 4 7 5 4 8 3 4 6 6 4 7 7 6 0 4 1 1 4 6 3 2 3 3 9 0 5 6 5 1 3 4 3 3 0 6 8 4 4 9 5 3 9 7 9 0 7 0 9 0 3 0 2 3 4 6 0 4 6 1 4 7 0 9 6 1 6 9 6 8 8 6 8 8 5 0 1 4 0 8 3 4 7 0 4 0 5 4 6 0 7 4 2 9 5 8 6 9 9 1 3 8 2 9 6 6 8 2 4 6 8 1 8 5 7 1 0 3 1 8 8 7 9 0 6 5 2 8 7 0 3 6 6 5 0 8 3 2 4 3 1 9 7 4 4 0 4 7 7 1 8 5 5 6 7 8 9 3 4 8 2 3 0 8 9 4 3 1 0 6 8 2 8 7 0 2 7 2 2 8 0 9 7 3 6 2 4 8 0 9 3 9 9 6 2 7 0 6 0 7 4 7 2 6 4 5 5 3 9 9 2 5 3 9 9 4 4 2 8 0 8 1 1 3 7 3 6 9 4 3 3 8 8 7 2 9 4 0 6 3 0 7 9 2 6 1 5 9 5 9 9 5 4 6 2 6 2 4 6 2 9 7 0 7 0 6 2 5 9 4 8 4 5 5 6 9 0 3 4 7 1 1 9 7 2 9 9 6 4 0 9 0 8 9 4 1 8 0 5 9 5 3 4 3 9 3 2 5 1 2 3 6 2 3 5 5 0 8 1 3 4 9 4 9 0 0 4 3 6 4 2 7 8 5 2 7 1 3 8 3 1 5 9 1 2 5 6 8 9 8 9 2 9 5 1 9 6 4 2 7 2 8 7 5 7 3 9 4 6 9 1 4 2 7 2 5 3 4 3 6 6 9 4 1 5 3 2 3 6 1 0 0 4 5 3 7 3 0 4 8 8 1 9 8 5 5 1 7 0 6 5 9 4 1 2 1 7 3 5 2 4 6 2 5 8 9 5 4 8 7 3 0 1 6 7 6 0 0 2 9 8 8 6 5 9 2 5 7 8 6 6 2 8 5 6 1 2 4 9 6 6 5 5 2 3 5 3 3 8 2 9 4 2 8 7 8 5 4 2 5 3 4 0 4 8 3 0 8 3 3 0 7 0 1 6 5 3 7 2 2 8 5 6 3 5 5 9 1 5 2 5 3 4 7 8 4 4 5 9 8 1 8 3 1 3 4 1 1 2 9 0 0 1 9 9 9 2 0 5 9 8 1 3 5 2 2 0 5 1 1 7 3 3 6 5 8 5 6 4 0 7 8 2 6 4 8 4 9 4 2 7 6 4 4 1 1 3 7 6 3 9 3 8 6 6 . . .

isoperimetrische Flächen

isoperimetrische Flächen

Isoperimetrische Flächen sind Flächen (in der Ebene), die den gleichen Umfang haben (aus dem Griechischen abgeleitet).
Das klassische isoperimetrische Problem untersucht Flächen, die bei gleichem Umfang, den größten Flächeninhalt haben.
Lässt man alle Flächenformen zu, so ist der Kreis der "Spitzenreiter".
Lässt man nur Vierecke zu, so ist das Quadrat an der "Spitze".
Vergleich von Quadrat und Kreis mit gleichem Umfang u.
Flächeninhalt Quadrat: Kantenlänge a=u/4 und damit ist A= u²/16.
Flächeninhalt Kreis: Radius r = u/(2 π) und damit ist A = (π/4) *u².
(π/4) > 1/16

Thébault-Dreieck

Thébault-Dreieck

Der französische Mathematiker Victor Thébault (1882 - 1960) hat mehrere "Probleme"  formuliert: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Th%C3%A9bault

So wird ein Dreieck ABC als Thébault-Dreieck bezeichnet, wenn sich die drei Innenwinkel des Dreiecks wie 1:2:4 verhalten. Das rote Dreieck im regelmäßigen Siebeneck ABCDEFG ist ein solches Thébault-Dreieck.

Ist die Seite a eines Thébault-Dreiecks die kürzeste Seite, so gilt {tex} \frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} {/tex}

Tangenssatz

Tangenssatz

In der Schulmathematik werden zur Berechnung des ebenen Dreiecks "gern" und häufig der Sinus- bzw. Kosinussatz verwendet. Es gibt aber auch einen Tangenssatz:
In einem ebenen Dreieck ABC gilt: {tex}\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan{\frac{\alpha -\beta}{2}}}{\tan{\frac{\alpha +\beta}{2}}}{/tex}
oder mit {tex} \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2}{/tex} lässt sich das auch so schreiben:
{tex}\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan{\frac{\alpha -\beta}{2}}}{\tan{\frac{180^\circ - \gamma}{2}}}{/tex}
Wie bei den anderen Sätzen lässt sich das natürlich auch anderen Seiten des Dreiecks übertragen.

Japanese Theorem

Japanese Theorem Japanischer Satz

Es ist ein spezieller Satz über Sehnenvierecke.

ABCD ist ein beliebiges Sehnenviereck in einem Kreis.
M₁ ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABD.
M₂ ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC.
M₃ ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks BDC.
M₄ ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks CDA.
Der Satz besagt, dass die vier Mittelpunkte immer ein Rechteck bilden.

--> Geogebra-Datei <--

Querprodukt

Querprodukt

Unter dem Querprodukt einer (mindestens zweistelligen) natürlichen Zahl n versteht man das Produkt ihren Ziffern.
Beispiel 1: 64 --> Querprodukt 6*4 = 24
Beispiel 2: 6099 --> Querprodukt 6*0*9*9 = 0
Es lässt sich leicht zeigen, dass das Querprodukt immer kleiner ist als die Zahl selbst.

--> Script zum Ermitteln  <--

Iteriertes Querprodukt.

Unter dem iterierten Querprodukt versteht man eine Folge von Querprodukten, wobei das Querprodukt vom Querprodukt .... ermittelt. wird, bis irgendwann das Querprodukt einstellig ist.

Beispiel 1: 64 --> Querprodukt 6*4 = 24 --> 2*4 = 8 --> Folge (24; 8) Die Folge für den Startwert 64 hat 2 Elemente.
Beispiel 2: 77 --> 7*7 = 49 --> 4*9 = 36 --> 3*6= 18 --> 1*8 = 8 --> Folge (49; 36; 18; 8) Die Folge für den Startwert 77 hat 4 Elemente.

Die Anzahl der Elemente werden als Maß für die (multiplikative) "Beharrlichkeit"  verwendet.
77 hat die Beharrlichkeit 4. Es ist die kleinste Zahl, die diese Beharrlichkeit aufweist.
Die kleinste Zahl mit der Beharrlichkeit 5 ist die 679.
Bisher wurden Zahlen bis zur Beharrlichkeit 11 entdeckt, ob die Beharrlichkeit 12 oder mehr sein kann, ist derzeit nicht bekannt.
Die kleinste Zahl mit der Beharrlichkeit 11 ist die 277777788888899.

Wurstkatastrophe

Wurstkatastrophe

Bei der der Wurstkatastrophe handelt es sich nicht um einen neunen Gammelfleischskandal. Es geht um die optimale Verpackung gleich großer Kugeln.
Anschaulich wäre das zum Beispiel die Verpackung von (gleich großen) Tischtennisbällen in (unendlich) dünne Folie. Optimal heißt dann, dass die Oberfläche der Folie möglichst klein sein soll.
Liegen die Mittelpunkte der Kugeln aller auf einer Geraden, so sieht die "Verpackung" wie eine Wurst aus. Liegen die Mittelpunkte aller Kugeln in einer Ebene, so wird die "Verpackung als als Pizza bezeichnet. (Die Wurst ist also eine spezille Form der Pizza.) Sind die Mittelpunkte der Kugel beliebig im Raum verteilt, so wird diese Form als Cluster bezeichnet.
Besipiel:4 Kugeln
alle in einer "Reihe" --> Wurst
2x2-Anordnung --> Pizza
3 Kugeln auf einem Tisch und die 4. Kugel oben drauf --> Cluster
Es lässt sich zeigen, dass für 1 bis 55 Kugeln, die Wurst die optimale Verpackung darstellt. ABER bei 56 Kugeln gibt es plötzlich Cluster, die besser sind als eine Wurst der Länge 56. Bei 57 und 58 Kugeln ist es wieder die "Wurstform".
Da eine "Katastrophe" häufig für etwas Unversehbares steht, so ist eben hier der Begriff Wurstkatastrophe gewählt worden.
Letzlich aber lässt sich feststellen, dass die optimale Verpackung für n Kugeln nur für wenige Werte von n wirklich bekannt ist. Auch ein endgültiger Beweis, dass erst bei n=56 die Wurstkatastrophe eintritt, steht noch aus.

Stichwort Packungsdichte

Giuga Zahlen

Giuga Zahlen

Giugazahlen sind natürliche Zahlen, die nach dem italienischen Mathematiker Giuaga benannt wurden.
Es gibt mehrere Definitionen.
Eine recht anschauliche ist:
n ist eine Giugazahl, wenn sie zusammengesetzt (also keine Primzahl) ist und wenn jeder ihrer Primteiler p ein Teiler von $$ \frac{n}{p} - 1 $$ ist.

Beispiel: 858 = 2 * 3 * 11 * 13
2 ist ein Teiler von  (858:2-1 = 429 - 1 =) 428
3 ist ein Teiler von (858:3-1) = 286 -1 =) 285
11 ist ein Teiler von (858:11-1 = 78 -1 =) 77
13 ist ein Teiler von (858:13-1 = 66-1 =) 65

Ob es unendlich viele solche Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

Lagebeziehungen von Geraden

Lagebeziehungen von Geraden

In der (euklidischen) Geometrie gilt: Liegen zwei Geraden in einer Ebene (Gerade 1 und Gerade 2 bzw. Gerade 1 und Gerade 3), dann sind sie entweder parallel zueinander oder aber sie haben einen gemeinsamen Schnittpunkt. Die Gerade 4 liegt im Raum über den anderen Geraden, ohne diese zu schneiden oder parallel zu sein. Die Gerade 4 verläuft windschief zu den anderen.

Wer Geogebra 5 testet, für den gibt es hier die passende Datei. --> ggb <--

Normale

Normale

Unter einer Normalen versteht man eine Gerade, die durch einen Punkt auf einer Funktion oder einem Punkt am Rand einer geometrischen Figur verläuft. Die Normale verläuft senkrecht zur Funktion bzw. zur Tangente in diesem Punkt.

Konstruktion mit Geogebra:
1. Funktion eintragen.
2. Punkt auf das Bild der Funktion legen.
3. "Tangente durch Punkt an Funktion" ausführen.
4. Senkrechte zur Tangente aus Schritt 3 "konstruieren".