Einsetzungsverfahren

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren wird zur Lösung von --> Gleichungssystemen <-- genutzt. (Es funktioniert bei Systemen mit beliebig vielen Gleichungen - wird aber dann schnell unübersichtlich.)

siehe auch --> Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren <--

Dargestellt wird hier das Verfahren am Beispiel eines linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
I. a₁ x + b₁ y = c₁
II. a₂ x + b₂ y = c₂
Eine der Gleichungen wird nach einer der Unbekannten umgestellt. Z.B. die Gleichung I nach y. (y = .....) der Term auf der rechten Seite dieser Gleichung wird dann statt y in die Gleichung II eingesetzt. So erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die sich leicht lösen lässt. Anschließend wird noch die zweite Unbekannte ausgerechnet. Die Lösung sollte noch per Probe überprüft werden.

Beispiel:

I  2x + 2 y = 10  | -2x

II 2x - y     = 1

_____________

I' 2y = 10 - 2x | :2

I' y = 5 - x

I' in II

II' 2x - (5 - x) = 1

II' 2x -5 + x = 1 | + 5

II' 3x = 6 | : 3

--> x = 2 Einsetzen in I' y = 5 - x = 5 - 2 = 3

(x; y) = (2; 3)

Probe I l.S. 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10 (stimmt mit r. S. überein)

Probe II l. S.  2* 2 - 3 = 4 - 3 = 1 (stimmt mit r. S. überein)

L = {(2; 3)}

Winkel

Winkel

Wird ein Strahl a mit dem Anfangspunkt S um den Punkt S gedreht, so ergibt sich als Bild wieder ein Stahl mit dem gleichen Anfangspunkt S. Diesen Bildstrahl bezeichne ich mit b. a und b bilden dann den Winkel (a;b). Der Drehsinn wird als positiv angenommen.

a und b werden als Schenkel des Winkels bezeichnet, der Punkt S als Scheitelpunkt des Winkels. Weitere übliche Bezeichnungen für Winkel sind griechische Buchstaben. Ebenso geht es auch mit {tex} \angle (ASB) {/tex}, dabei ist A ein Punkt auf a und B ein Punkt auf b. Der Winkel {tex} \angle (ACB) {/tex} in einem Dreieck ABC ist also der Winkel mit dem Scheitelpunkt bei C - wird auch als {tex}\gamma{/tex} (Gamma) bezeichnet.

Strahl (in der Geometrie)

Strahl

Ein Strahl - auch Halbgerade genannt - ist eine unendlich lange gerade Linie, die einen Anfangspunkt besitzt, aber keinen Endpunkt. Diese Festlegung erlaubt eine Orientierung des Strahls. (Ein Strahl von A aus.)

Vorwärtseinschneiden

Eine der wichtigen Aufgaben der Feldvermessung ist das Vorwärtseinscheiden. Dabei geht es darum, dass die Entfernung von zwei "unzugänglichen" Punkten berechnet wird. Ausgangspunkt ist eine Strecke, deren Länge bekannt ist (Basis). Darüber hinaus werden die "unzugänglichen" Punkte angepeilt und die Winkel zwischen den Punkten und der Basis vermessen.

Es gibt verschiedene Lösungswege, einer davon wird hier vorgestellt.

{tex} \frac{e}{a} = \frac{sin \delta}{sin(180^\circ -(\delta + \alpha))}{/tex}

{tex}e = \frac{sin \delta \cdot a}{sin(180^\circ -(\delta + \alpha))}{/tex}

{tex} \frac{d}{a} = \frac{sin \gamma}{sin(180^\circ -(\beta + \gamma))}{/tex}

{tex} d = \frac{sin \gamma \cdot a}{sin(180^\circ -(\beta + \gamma))}{/tex}

{tex}c^2 = d^2 + e^2 - 2de cos(\beta - \alpha){/tex}

zum Applet

Harshad-Zahl

Harshad-Zahl oder Niven- Zahl

Eine natürliche Zahl (im Dezimalsystem), die durch ihre Quersumme teilbar ist, wird Harshad-Zahl genannt.

Harshad kommt von Freude (Sanskrit). Niven ist ein Mathematiker.

Alle Harsahd-Zahlen bis zur 999 -- hier <--

Vorwärtseinschneiden

Die Punkte lassen sich ziehen. Die daraus resultierenden Längen und Winkel lassen sich für Berechnungsaufgaben verwenden.
In der Regel werden die Länge der Seite a - Standlinie - und die Winkel gemessen (vorgegeben) und daraus die Länge der Seite CD berechnet.

ausgewogene Primzahlen

Ausgewogene Primzahlen

oder sollte man sie besser austarierte Primzahlen nennen (engl. balanced prime)?
Was ist das nun?
Eine Primzahl p heißt ausgewogen, wenn sie der Mittelwert ihrer Vorgängerprimzahl und ihrer Nachfolgerprimzahl ist.
Beispiel: die 53 ist eine solche Primzahl, denn die nächste kleinere Primzahl ist 47, die nächste größere ist 59. Das arithmetische Mittel von 47 und 59 ist 53.
Die ersten 20 solcher Primzahlen: 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367

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Wieferich Primzahl

Wieferich Primzahl

Diese besonderen Primzahlen sind nach Arthur Josef Alwin Wieferich benannt. --> wikipedia <--
Eine Primzahl p ist eine Wieferich Primzahl, wenn gilt 2^p-1 - 1 ist durch p² teilbar. Es sind davon bisher nur zwei bekannt: 1093 und 3511.
Ob es noch mehr gibt oder gar unendliche viele ist nicht bekannt. Wieferich war bei der Untersuchung des großen fermatschen Satzes auf diese Zahlen gestoßen.
Es gibt auch nur zwei bekannte Primzahlen p für die gilt:  3^p-1 - 1 ist durch p² teilbar. Es handelt sich hierbei um die 11 und 1006003.

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Polydivisible Zahlen

Polydivisible Zahlen

Polydivisible Zahlen sind spezielle natürliche Zahlen. Die Ziffern seien abcdef...
Eine Zahl p ist polydivisibel, wenn alle folgenden Bedingungen gelten:
0. die erste Ziffer ist keine Null.
1. Die erste Ziffer ist durch 1 teilbar (na gut, das gilt immer --> es 9 einstellige polydivisible Zahlen)
2. Die aus den ersten beiden Ziffern gebildete Zahl ab ist durch 2 teilbar.
3. Die aus den ersten drei Ziffern gebildete Zahl abc ist durch 3 teilbar.
4. Die aus den ersten vier Ziffern gebildete Zahl abcd ist durch 4 teilbar.
5. .........
Prinzip erkannt?
Dann ist ja gut.
--> wikipedia Artikel (engl.) <--
Eine ganz besondere polydivisible Zahl ist:  381654729 Es ist die einzige neustellige polydivisible Zahl, deren Ziffern alle verschieden sind. Neunstellig und polydivisibel, nun davon gibt es  2492 Zahlen.
Die längste polydivisible Zahl ist: 3 608 528 850 368 400 786 036 725 also 25 Stellen.

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Nummerieren

Nummerieren

Allgemein gesagt, heißt nummerieren, dass man den Elementen einer Menge (oder irgend welcher Objekte z.B. den Häusern einer Straße) natürliche Zahlen zuordnet.
Was zum Beispiel das Nummerieren von Häusern angeht, so ist dies nicht unbedingt immer ganz einfach bzw. nachvollziehbar für Nichteinheimische. So sind in Chemnitz auf einer Straßenseite meist ungerade und auf der anderen Seite die geraden Hausnummern. Durch unterschidliche Bebauungsbreiten kann es so passieren, dass sich aufeinander folgende Zahlen sich nicht gegenüber befinden. Auch wurden kriegsbedingt verloren gegange Häuser samt ihren Hausnummern nicht neu einbezogen.
Interessant auch die Nummerierung in Teilen Berlins. Die Hausnummern beginnen auf einer Seite und kommen auf der anderen Straßenseite "zurück". Das Problem wird deutlich, wenn man sich überlegt, was passiert, wenn man die Straße verlängern will. ...

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Scheitelwinkel

Scheitelwinkel

Nebenwinkel

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen am Schnittpunkt vier Winkel. Je zwei Winkel davon, die einen Schenkel gemeinsam haben, werden als Nebenwinkel bezeichnet. Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt 180°.
Stufenwinkel

s. Winkelbeziehungen

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Lot

Lot

delisches Problem

delisches Problem

delisches Problem - auch Würfeldopplung
Der Name leitete sich ab von der Insel Delos. Deren Bewohner sollten zwecks Bekämpfung einer Epidemie den würfelförmigen Altarstein doppelt so groß herstellen.
Die Frage besteht also darin herauszufinden, wie groß muss die Kantenlänge des neunen Würfels sein.
Sei a₁ die Kantenlänge des Ausgangswürfels, so hat der ein Volumen von a₁³. Das neue Volumen ist dann 2*a₁³ ==> $$ a_2 = {\sqrt[3]{2 \cdot a_1}} $$
Das Problem eines solche Länge zu konstruieren, ist mit den Mitteln der klassischen Geometrie - Konstruktionen nur mit Zirkel und Lineal - nicht lösbar.
Der Nachweis der Unmöglichkeit gelang erst im 19. Jahrhundert.
Ausrechnen geht, aber konstruieren, sorry.

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Gärtnerkonstruktion

Gärtnerkonstruktion:

auch bei --> Ellipse <-- nachlesen
Man nimm einen Faden (Länge l = r₁ + r₂) und legt zwei Punkte fest (die Brennpunkte). Dort werden die Enden des Fadens befestigt. Wenn nun der Faden straff gespannt wird, so bewegt sicht der "Straffhaltepunkt" auf einer Ellipse. Pflanzt man eine Hecke in Ellipsenform - muss nicht vollständig sein - und stellt bei den Brennpunkten Bänken auf, so wird jedes geflüsterte Wort von einer Bank ganz deutlich übertragen. Die nach allen Seiten von einem der Brennpunkt ausgehenden Schallwellen werden so reflektiert, dass sie im anderen Brennpunkt ankommen.
Mit Licht funktioniert das natürlich auch. Hecke durch Spiegel ersetzen. Steht einer in einem Brennpunkt, so kann er jemanden, der im anderen Brennpunkt steht sehen, egal wohin er schaut. (Mit einer Ausnahme, dass er sich gerade selber sieht.)

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Ellipse

Ellipse

Den Begriff Ellipse gibt es als Ausdrucksmittel in der Sprache.
Hier ist diese Figur gemeint:

Die Ellipse ist definiert als Ort aller Punkte, für die gilt r₁ + r₂ ist konstant. Die Punkte F₁ und F₂ heißen Brennpunkte der Ellipse. a und b sind die Halbachsen der Ellipse.
Fallen die beiden Brennpunkte zusammen, so erhält man einen Kreis.
Eine Ellipse ist eine der Figuren, die entstehen können, wenn man einen (Doppel-)Kegel mit einem ebenen Schnitt schneidet.
Gärtnerkonstruktion: Man nimm einen Faden (Länge l = r₁ + r₂) und legt zwei Punkte fest (die Brennpunkte). Dort werden die Enden des Fadens befestigt. Wenn nun der Faden straff gespannt wird, so bewegt sicht der "Straffhaltepunkt" auf einer Ellipse. Pflanzt man eine Hecke in Ellipsenform - muss nicht vollständig sein - und stellt bei den Brennpunkten Bänken auf, so wird jedes geflüsterte Wort von einer Bank ganz deutlich übertragen. Die nach allen Seiten von einem der Brennpunkt ausgehenden Schallwellen werden so reflektiert, dass sie im anderen Brennpunkt ankommen.
Mit Licht funktioniert das natürlich auch. Hecke durch Spiegel ersetzen. Steht einer in einem Brennpunkt, so kann er jemanden, der im anderen Brennpunkt steht sehen, egal wohin er schaut. (Mit einer Ausnahme, dass er sich gerade selber sieht.)
Die Keplerschen Gesetze beschreiben ebenfalls Ellipsen.
Richtig interessant wird es, wenn man die Gärtnerkonstruktion mit drei Festpunkten ausführt.  --> Mathematik ist überall <--

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