Serie-28

Serie 28

Aufgabe 1

325. Wertungsaufgabe
Bernd sitzt am Schreibtisch und studiert eine Karte. "Was hast du denn da?", fragt Mike. "Wir haben vor ein paar Wochen mit der Mathegruppe ein Suchspiel auf dem großen Waldspielspielplatz veranstaltet.Und das ist die "Schatzkarte". Hier nun die Zusammenfassung:"
Beim Verstecken haben Arno, Brit, Cecil und Dirk geholfen. Die 4 versteckten Gegenstände waren jeweils von einem der vier abgelegt worden. Je einer im Norden, Süden, Osten und Westen des Spielplatzes. Weil der Spielplatz so groß ist, waren die vier mit ihrem Fahrrad unterwegs. Es gab ein gelbes, rotes, blaues und ein silbernes Fahrrad. Versteckt wurden ein Messer, ein Buch, eine Lampe und ein Schuh.
Brit war im Süden, aber nicht mit dem Messer.
Das Messer wurde nicht von dem Fahrer/in des silbernen Rades versteckt.
Der Fahrer/in des gelben Rades versteckte das Buch.
Im Westen war die Lampe versteckt
Der Fahrer/in des roten Rades fuhr nach Norden, aber nicht mit dem Messer.
Dirk hat kein blaues Fahrrad.
Den Schuh versteckte Cecil.
Wer hat wo was versteckt und wem gehört welches Fahrrad? - 4 blaue Punkte.
Auf der Rückseite der Schatzkarte klebte noch ein Foto, auf dem 10 Würfel (mit 1, 2, .. 6 Punkten -- normale Würfel eines Spieles eben) nebeneinander zu sehen waren. (Von links nach rechts Würfel 1, Würfel 2, ..., Würfel 10)
Würfel 8 hatte weniger Punkte als Würfel 10, wobei Würfel 3 noch mal eine andere Punktzahl aufwies.
Nimmt man die Würfel 6 bis 10, so lassen sich vier davon so anordnen, das vier aufeinander folgende Zahlen zu finden sind.
Bei den Würfeln 1 bis 5 gibt es einen Pasch (zwei gleiche) mit Punktzahlen, die nicht bei den Würfeln 6 bis 10 zu finden sind.
Es gibt genau einmal die Punktzahl 3. Auch die Punktzahl 2 gibt es nur einmal, die ist auf dem Würfel Nummer 4. Auf den Würfeln 9, 7, 5 und 3 ist die Punktzahl 6 nicht zu finden. Betrachtet man die Würfel 5, 2 und 3 in dieser Reihenfolge, so nimmt deren Punktzahl immer zu, wobei die Punktezahl von Nummer 5 und Nummer 2 zusammen gerade die von der Nummer 3 ergibt. Erstaunlicherweise sind auf der Nummer 1 eine 1 und auf der Nummer 6 eine 6 zu sehen, bei den anderen Würfeln gibt es so eine Übereinstimmung nicht. Rechnet man die Punktezahl der ersten fünf Würfel zusammen, so ergeben sich genau 10 Punkte weniger als bei den Würfeln 6 bis 10.
Was zeigen die Würfel 1 bis 10 jeweils für eine Punktezahl? - 4 rote Punkte.

Lösung:
Hier die Lösungsvariante von Doreen N, danke:
blau:
-Eintragen der eindeutig zutreffenden Dinge mit einem + und der
eindeutig nicht zutreffenden Dinge mit einem - in einem Lösungsgitter
wie in der P.M.
-durch log. Kombination ergeben sich schnell weitere + und -
-die Lösung:
Arno-Ost-blaues Fahrrad-Messer
Brit-Süd-gelbes Fahrrad-Buch
Cecil-Nord-rotes Fahrrad-Schuh
Dirk-West-silbernes Fahrrad-Lampe

rot:
-hier habe ich mir eine Tabelle gemacht, wo ich links die möglichen
Punkte 1-6 und oben die Würfel 1-10 hingeschrieben und dann mit + und -
die einzelnen Varianten markiert habe
-Würfel 8 weniger Punkte als Würfel 10 -> Würfel 8 nicht 6 Punkte,
Würfel 10 nicht 1 Punkt
-auf Würfel 4 sind 2 Punkte, alle anderen Würfel haben keine 2 Punkte
-auf Würfel 3, 5, 7 und 9 keine 6 Punkte
-auf Würfel 1 ist 1 Punkt, auf Würfel 6 sind 6 Punkte, doch auf Würfel 3
keine 3, auf Würfel 4 keine 4 und auf
Würfel 5 keine 5 Punkte
-auf den Würfeln 2 und 3 mehr als 1 Punkt, da Würfel 5 noch eine
kleinere Punktzahl hat
->2 Möglichkeiten für Würfel 5, 2 und 3: 1+3=4  und 1+4=5
->Würfel 2 hat nicht 5 oder 6 Punkte, da Würfel 3 noch mehr Punkte hat
->Würfel 5 muss 1 Punkt haben ->das ist der gesuchte Pasch der Würfel
1-5 (mit der 1 von Würfel 1), da Würfel 2 und 3 keine gleiche Punktzahl
haben können ->die Würfel 7-9 haben nicht 1 Punkt
-Würfel 8 hat mind. 3 Punkte, Würfel 10 mind. 4 Punkte
-es soll genau 1x die Zahl 3 auftreten-> muss bei Würfel 7-9 sein, da
sich Würfel 6-10  zu 4 aufeinanderfolgenden Zahlen anordnen lassen
sollen und die Punkte 1 und 2 für die Würfel 6-10 wegfallen
->Würfel 2 keine 3 Punkte ->Würfel 2 hat 4 Punkte, Würfel 3 hat 5
Punkte (1+4=5)
->Würfel 8 und 10 keine 5 Punkte
-die 4 aufeinanderfolgenden Zahlen sind 3, 4, 5 und 6
-Summe Würfel 1-5: 1+4+5+2+1=13 -> Summe Würfel 6-10 muss 23 sein (13+10=23)
-2 Möglichkeiten: -Würfel 8 hat 3 Punkte- dann hat Würfel 10 4 oder 6 Punkte
-Würfel 8 hat 4 Punkte- dann hat Würfel
10 6 Punkte
-Würfel 10 kann nicht 6 Punkte haben, da dann die Summe 24 wäre
(3+4+5+6+6)-> Würfel 8 muss 3 und Würfel 10 muss 4 Punkte haben
-von den Würfeln 7 und 9 hat einer 5 Punkte->23-3-4-5-6=5
-> beide Würfel haben 5 Punkte
=>Lösung:
Würfel  1= 1 Punkt
Würfel  2= 4 Punkte
Würfel  3= 5 Punkte
Würfel  4= 2 Punkte
Würfel  5= 1 Punkt
Würfel  6= 6 Punkte
Würfel  7= 5 Punkte
Würfel  8= 3 Punkte
Würfel  9= 5 Punkte
Würfel10= 4 Punkte

Aufgabe 2

326. Wertungsaufgabe

"Hallo Mike, wie ich sehe, hast du die Mikadostäbe wieder mal aus dem Schrank geholt. Wollen wir eine Runde spielen?"; fragt Bernd. "Nachher sicher, jetzt bin ich gerade dabei zu zählen." Wie das?" "Nun, ich habe dieses quadratische Spielfeld (10 cm). Die 19 cm langen Mikadostäbe ragen also darüber hinaus. Wenn ich nun zwei Mikadostäbe nehme, wird das Quadrat in maximal 4 Flächen zerlegt. Auf den Mikadostäben selbst entstehen 4 Strecken innerhalb des Quadrates." "Alles klar".
Wie viele Flächen und Strecken erhält man maximal, wenn man 5 Mikadostäbe nimmt. (Besser gesagt, man nimmt einfach Geraden.) - 4 blaue Punkte. Wie lässt sich die maximale Zahl von Flächen und Strecken ausrechnen, wenn man n Geraden nimmt? - 4 rote Punkte

“Hi Mike, I see you got your Mikado pick-up-sticks out of the cabinet. Do you want to play?”, Bernd asks. “Maybe later. Right now I'm counting.” “What are you counting?” “Well, there's this square game board that measures 10cm. These 19 cm long pick-up-sticks extend over the edges. With two pick-up-sticks I can divide the board into no more than 4 areas. The pick-up-sticks would make 4 line segments within the square, right?” “Right”
How many areas and line segments would you get at most if you used 5 pick-up-sticks? - 4 blue points.
A general solution for n pick-up-sticks? - 4 red points

Lösung:

blau/rot:

Am besten man geht es systematisch an.

Zuerst hat man das leere Quadrat: 0 Geraden, 0 Streckenabschnitte und 1 Fläche

Nun eine Gerade: 1 Streckenabschnitt und zwei Fflächen

Die zweite Gerade muss die erste schneiden (darf nicht parallel sein), damit die Streckenabschnitts- und Flächenzahlen maximal werden.

2  Geraden, 4 Streckenabschnitte und 4 Flächen.

3 Geraden (dritte Gerade schneidet die beiden schon vorhandenen, aber nicht in deren Schnittpunkt) 9 Abschnitte und 7 Flächen.

4 Geraden (Anmerkung s. o.) 16 Abschnitte und 11 Flächen

5 Geraden (...) 25 Abschnitte und 16 Flächen

...

n Geraden. n² Abschnitte und (1  + 2 + 3 + 4 + ... + n) +1 Flächen = {tex} \frac {n(n+1)}{2} + 1 {/tex}

Aufgabe 3

327. Wertungsaufgabe

"Schau mal, ich habe hier ein zauberhaftes gleichschenkliges Trapez ABCD.", sagte Maria zu Bernd. "Was ist daran zauberhaft?" "Dieses Trapez wird von der Diagonalen AC genau in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegt." "Cool". Wie groß sind die Winkel in diesem Trapez (AB > CD, AC || CD)? - 4 blaue Punkte. Wie groß ist der Flächeninhalt des Trapezes, wenn die Diagonale 5,0 cm groß ist? - 4 rote Punkte.

english version

„Look at my magical isosceles trapezoid ABCD.“, Maria says to Bernd. “Why magical?” “Well this trapezoid is divided into two isosceles triangles by its diagonal AC.” “Cool” What measure do the angles in this trapezoid have (AB > CD, AC || CD)? - 4 blue points. What is the area of this trapezoid if the diagonal is 5,0 cm? - 4 red points.

Lösung:

das Bild in groß

Da das Trapez ABCD gleichschenklig sein soll gilt α + β = γ. Wegen CD kürzer AB muss ζ ein stumpfer Winkel sein. Daraus folgt CD = DA (gleichschenkliges Dreieck). Dann muss entsprechend AC = AB sein. Wenn aber AC = AB, dann ist  γ = δ. Ebenso gilt dann  β =  ε.  Zugleich ist aber α ein gleichgroßer Wechselwinkel zu  ε. Also sind α und  β gleich groß und damit halb so groß wie γ bzw. 2α = γ. Im Dreieck ABC wird dann aus α + γ + δ = 180°

5α = 180° also α = 36° Nun ist der Rest einfach α + β = 72°, γ = 72°, δ + ε = 108° und ζ = 108°

Kennt man die Winkel und AC = e mit 5,0 cm lässt sich mittels Sinussatz die Seite c zu 3,09 cm ausrechnen. ( d = c = b s.o.)

A = 0,5 ab sin γ + 0,5 cd sin ζ = 19,9 cm²

Für jüngere Schüler: Es darf auch die Höhe und c des Trapezes "gemessen" werden  und dann die Flächeninhaltsformel für das Trapez Anwendung finden, wenn die Konstruktion des Trapezes gelungen ist.

Aufgabe 4

328. Wertungsaufgabe

"Also, auf die Lösung der Aufgabe der letzten Woche zu kommen, war gar nicht so leicht", meinte Bernds Opa. "Das stimmt schon", gab Bernd zu. "Nun, dann probiert mal das aus".
Es wurden viele Schüler befragt. Genau 3,4 % von denen sagten, dass Grün ihre Lieblingsfarbe sei. Wie viele Schüler wurden mindestens befragt? - 3 blaue Punkte.
Bei einer anderen Umfrage sagten genau 4,7029 der befragten Schüler, dass Blau die Lieblingsfarbe sei. Wie viele Schüler waren es in diesem Falle mindestens? 4 rote Punkte.

english version

“Well, the solution of last week's problem wasn't all that easy, was it?” Bernd's granddad said.

“No, it wasn't”, Bernd agreed. “But what do you think about this one here?”

A lot of students had responded to a survey. Exactly 3,4% stated that their favourite colour was green. How many students had at least taken part in the survey? - 3 blue points

In another survey exactly 4,7029 of the students answered that blue was their favourite colour. How many students took part in this survey at the minimum? - 4 red points

Lösung/solution:

blau 3,4 %, das heißt {tex} \frac{3,4}{100} = \frac{34}{1000}{/tex} Es könnte also 34 von 1000 Personen gewesen sein. Da aber nach der Minimalzahl gefragt war muss der bruch gekürzt werden. {tex} \frac{34}{1000} = \frac{17}{500}{/tex} mehr kürzen geht nicht, also waren 500 Personen an der Umfrage beteiligt, von denen sich 17 für grün entschieden hatten.

rot: Hier gilt es einen periodischen Dezimalbruch auf einen gemeinen Bruch zuführen. Dafür gibt es einen schönen "Trick". Der Dezimalbruch wird mit 10ⁿ multipliziert, wobei n die Länge der Periode ist. In unserem Fall wäre das 10 000.

x =0,047029   die 0,04 ist wegen der Prozentangabe. (s.o. 3,4 % --> 0,034

10 000x = 470,297029s   von dieser Zahl wird das x abgezogen, was nun geht, da ab 3. Stelle nach dem Komma immer die gleichen Ziffern untereinander stehen (- wenn man sich die Subtraktion schriftlich vor Augen führt)

Es bleiben 9999x = 470,25 Jetzt geht es wie bei blau weiter:

{tex} \frac{470,25}{9999} = \frac{47025}{999900}{/tex}

Konsequentes Kürzen führt zur Antwort: Es waren 19 von 404, die sich für die Lieblingsfarbe blau entschieden hatten.

Aufgabe 5

329. Wertungsaufgabe

Aufgabe 329

Bernd hat im Urlaub eine interessante Pflasterung gesehen und sogar ein Bild davon gemacht. „Die Pflastersteine sehen aus, als wären sie mit dem Zirkel gemacht“, meinte Lisa. „Das denke ich auch,“ fand Mike. Wie lässt sich ein solcher Stein – eine solche Figur - konstruieren, wenn nur ein Zirkel (Zirkelspanne 5 cm) verwendet werden darf. Ein Lineal darf genommen werden, aber nicht zum Abmessen. 4 blaue Punkte für eine komplette Konstruktionsbeschreibung. 5 rote Punkte für die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt einer solcher Figur.

großes Bild

english version

While on holiday Bernd found this interesting kind of paving and even
took a picture of it.
“These paving stones look as if drawn with a compass”, Lisa observed. “I
think so, too,” Mike replies.
How can you construct such a stone – such a plane figure – if you may
only use a compass at a radius of 5 cm? 4 blue points for a complete
description of the construction. 5 red points for calculating
circumference and area of such a figure.

click to enlarge

Lösung/solution:

Hier die Lösung von Linus-Valentin, danke:

als pdf

Aufgabe 6

330. Wertungsaufgabe
„Bernd, stell dir vor, ich habe heute zum ersten Mal einen Fünfhundert-Euroschein in der Hand gehabt“; sagte Mike. „Cool, wie kam das?“ Wir hatten heute Hauswirtschaftsunterricht und unser Schulleiter holte beim Thema Geld plötzlich so einen Schein aus der Tasche .“ „Nicht schlecht, aber bevor man damit einkauft, wird man den wohl eher wechseln müssen.“ „Bestimmt.“
Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen 500 Euroschein in Scheine zu wechseln, wenn  keine 5 und 10 Euro Scheine dabei sind? - 6 blaue Punkte. Wie viel Geld kann man maximal in der Geldbörse haben, wenn man  keinen von zwei 500 Euroscheinen (oder beide) genau wechseln kann. Bei diesem Teil der Aufgabe gibt es keine Einschränkung bei den Scheinen und Stücken. - 5 rote Punkte.

english version

“Bernd, guess what, I got hold of a 500 Euro banknote for the first time today”, Mike said.
“Great, how did that come about?” “We talked about money in our home economics lesson today. Our head teacher took the banknote out of his pocket just like that.”
“Wow, but before you could go shopping with this one you'd have to make change for it, wouldn't you?”
“I guess so.” How many possibilities are there to change a 500 Euro note into smaller notes except 5 Euro and 10 Euro notes? - 6 blue points. How much money would be in your purse at the maximum if you weren't able to exactly make change for one or both of two 500 Euro notes? You'd be able to use any common note or coin. - 5 red points.

Lösung/solution:

Hier Lösung von Elisa und Uwe, danke.

blau:
durch systematisches Ausprobieren gefunden
Scheine mit jeweiliger Anzahl (34 Varianten)
200|100| 50| 20
  2|  1|   |   
  2|   |  2|   
  2|   |   |  5
  1|  3|   |   
  1|  2|  2|   
  1|  2|  2|  5
  1|  1|  4|   
  1|  1|  2|  5
  1|  1|   | 10
  1|   |  6|   
  1|   |  4|  5
  1|   |  2| 10
  1|   |   | 15
   |  5|   |   
   |  4|  2|   
   |  4|   |  5
   |  3|  4|   
   |  3|  2|  5
   |  3|   | 10
   |  2|  6|   
   |  2|  4|  5
   |  2|  2| 10
   |  2|   | 15
   |  1|  8|   
   |  1|  6|  5
   |  1|  4| 10
   |  1|  2| 15
   |  1|   | 20
   |   | 10|   
   |   |  8|  5
   |   |  6| 10
   |   |  4| 15
   |   |  2| 20
   |   |   | 25

Werden auch 5 und 10 Euroscheine zugelassen, so gibt es 1648 Möglichkeiten einen 500 Euroschein zu wechseln.

--> komplette Übersicht <--

rot:
100 10 und 1 € sowie 10 und 1 Cent können nicht dabeisein, da es sonst mit den 2-ern und 5-ern glatte 100 10 oder 1 ergeben. Somit bleiben die folgenden max. Beträge in der Geldbörse.
4*200,00
0*100,00
1* 50,00
4* 20,00
0* 10,00
1*  5,00
4*  2,00
0*  1,00
1*  0,50
4*  0,20
0*  0,10
1*  0,05
4*  0,02
0*  0,01
--------
  944,43 Euro

Aufgabe 7

331. Wochenaufgabe

„Dass es so viel Geld ist, hätte ich auf Anhieb nicht vermutet“, meinte Bernds Vater, als er von der roten Aufgabe der letzten Woche hörte. „Aber schaut euch mal diese Zeichnung an. Was seht Ihr?“ „Ein gleichschenkliges Dreieck auf dessen Basislänge (6 cm) ein Rechteck steht. Außerdem liegen die Ecken des Rechtecks auch auf den Schenkeln (8 cm) des Dreiecks.“ „Stimmt, außerdem ist der Flächeninhalt des Rechtecks genau halb so groß wie der des Dreiecks.“  4 blaue Punkte gibt es für die Konstruktionsbeschreibung und -begründung für ein solches Bild, wie es Bernds Vater in der Hand hält. Für 5 rote Punkte soll überlegt werden, wie groß das Volumen eines Körpers ist, wenn das Bild aus dem blauen Teil den Aufriss eines Körpers darstellt, wobei des „Rechteck“ gestrichelt zu zeichnen ist. (Eine Lösung für rot reicht.)

english version
“I wouldn't have thought it such a lot of money”, Bernd's father said when he learned about last weeks maths problem.
“But take a look at this drawing. What do you see?”
“An isosceles triangle whose base (6cm) is also a side of a rectangle. Furthermore the vertices of the rectangle lie on the two equal sides of
the triangle (8 cm).” “Right, plus the area of the rectangle is exactly half as large as the  triangles' area.” -4 four blue points for explaining how to construct
the figure that Bernd's father is holding. For five red points find out the volume of a solid figure of which the drawing above is the front view in a first angle projection. The sides of the rectangle would be drawn in a dashed line as they are hidden. (one solution sufficient)

Lösung/solution:

Konstruktion: Zuerst zeichne ich die Strecke AB mit 6 cm. Dann wird von A und B jeweils ein Kreisbogen mit dem Radius 8 cm gezogen. Die Kreisbögen schneiden sich in zwei Punkten, einen davon bezeichne ich mit C und erhalte so das gesuchte Dreieck ABC. Die beiden Schenkel des Dreiecks werden halbiert. (Grundkonstruktion). Die Halbierungspunkte bezeichne ich mit E bzw. F. EF ist eine Seite des gesuchten Rechtecks, dessen Punkte mittels Lotfällung auf AB gefunden werden (Grundkonstruktion).

Begründung: Das Dreieck EFC ist zum Dreieck ABC ähnlich und halb so groß wie ABC. (Hauptähnlichkeitssatz). Der Flächeninhalt von EFC ist demzufolge 1/4 so groß wie der vom Dreieck ABC. Die beiden Dreiecke sind jeweils kongruent zu den Teildreiecken des Dreiecks EFC (Kongruenzsatz sws). Damit haben die vier Teildrecke den halben Flächeninhalt des Dreiecks ABC - der verbleibende Rest - das Rechteck  hat dann auch den halben Flächeninhalt.

rot: Hier gibt es viele Varianten, wie der Körper aussehen kann, der einen solchen Aufriss hat.

Bei den eingereichten Lösungen waren folgende Varianten dabei:

"Liegendes" dreiseitiges Prisma hinter dem ein Quader steht.

Eine Pyramide bzw. Kegel hinter dem ein Prisma steht.

Ein Kegel mit zylindrischer Bohrung ( V in dem Fall rund 69,8 cm³).

Eine quadratische Pyramide mit - gemäß Aufriss maximal großem - harausgefrästem Quader - (V rund 88,9 cm³.)

Weitere Lösungen sind denkbar.

Aufgabe 8

332. Wertungsaufgabe

„Hallo Mike, hast du schon mal was von Teilermonstern gehört?“ „Nein. Was soll denn das sein?“, fragte Bernd zurück. „Teilermonster sind natürliche Zahlen, die kleiner als 100 sind und die mehr als 10 echte Teiler haben.“ „Echte Teiler?“ „Die echten Teiler einer natürlichen Zahl sind die Zahlen, durch die sich die Zahl ohne Rest teilen lässt und die kleiner sind als die Zahl selbst.“ „Ich verstehe, hast du mal ein Beispiel für ein solches Teilermonster?“ „Ich denke, die findest du selber heraus.“ Für jedes gefundene Teilermonster gibt es 2 blaue Punkte. Für den Nachweis, dass es nicht mehr geben kann, gibt es noch einmal 2 blaue Punkte dazu. Wie kann man Zahlen, die genau 1 Million echte Teiler haben erhalten? 4 rote Punkte. Welche der Zahlen davon ist die kleinste, noch mal 4 rote Punkte. (Anmerkung in beiden Aufgabenteilen sind auch bei den Teilern nur natürliche Zahlen zugelassen.)

english version

"Hi Mike, have you ever heard of a divisor monsters?" "No I haven't. What are they supposed to be?", Bernd asked back.  "Well, divisor monsters are natural numbers smaller than 100 that have more than 10 proper divisors." "Proper divisors?" "Proper divisors are divisors of our natural number except the number
itself." "I got it. Can you give an example for such a divisor monster?" "I think you'll find out yourself." Two blue points awarded for each divisor monster. Two extra blue points for proving that there cannot be more. How can you obtain numbers that have exactly a million proper divisors?  - 4 red points. Which of them is the smallest? - another 4 red points.

Lösung/solution:

Die angestellten Überlegungen beziehen sich auch natüliche Zahlen - die zu Teilenden und deren Teiler.

 blau: Die Anzahl der Teiler einer Zahl zu finden ist --> hier <-- möglich. Die gesuchte "Teilermonster" sind die 60; 72; 84; 90 und 96. Es waren also 10 + 2 Punkte möglich. Im Fall der roten Aufgabe hilft ein Probieren nicht wirklich. Es gilt also zu überlegen (oder das Internet zu durchforsten) wie man die Anzahl der Teiler einer Zahl ermittelt.

Zunächst werden mal alle Teiler betrachtet:

8 - die Teiler sind 1; 2; 4 und 8, die 9 - die Teiler sind 1; 3 und 9 und nun die 72 = 8 * 9 - die Teiler sind 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24 und 72. Wie die 72 zeigt, ergibt sich deren Teilerzahl als Produkt der Teilerzahlen der Teiler von 8 und 9. Wie ist das nun bei 8 und 9 selber? 8 = 2³, 9 = 3². Die Teilerzahlen sind also gerade um eines größer wie die Exponenten. Für die 72 gilt 72 = 2³ * 3² die Anzahl der aller Teiler ist (3+1) * (2+1). Untersucht man nun die Primfaktorenzerleung von weiteren Beispielen so wird schnell die Vermutung "sichtbar", dass sich aus den Exponenten der der Primfaktoren, die Anzahl der Teiler ergibt sich durch Multiplation der um 1 vergrößerten Exponeten der Primfaktoren. Den Beweis dafür zu führen versage ich mir hier an dieser Stelle - soltte  mir jemand einen  Beweis schicken, dann veröffentliche ich den gern..

Zurück zu rot:. 2^{1 000 00}, 3^{1 000 000} , p^{1 000 000} (mit p - Primzahl) haben 1 000001 Teiler bzw. 1 000 000 echte Teiler. Ist aber die erste Potenz die gesuchte kleinste Zahl? Dazu wird die 1 000 001 selbst auf Teiler untersucht. Es gilt nun, dass sich 1 000 001 als Produkt zweier Primzahlen zerlegen lässt. 1 000 001 = 9901 * 301. Daraus lässt sich eines Primfaktorenzerlegung ableiten, wobei die kleinsten Primfaktoren verwendet werden. ==>

x= 2⁹⁹⁰⁰ * 3³⁰⁰ hat (9901*301) = 1 000 001 Teiler also genau 1 000 000 echte Teiler. Kleiner geht es nicht mit 3026 Stellen ist diese Zahl deutlich kleiner als 2^{1 000 000}.

Hier die Zahl: (Wenn der Rechner sich nicht vertan hat)

1292661278285391124272494567449911759342464444

0739149688243384201912861092532479344764283716

8968041067932109434442887935225466936757703492

6112322219975060263711523401505257782740801461

4258111456459865865506197255696626543735016697

5827896227422242038893557334263031267060476985

4075546746515244172682062225441966202985937865

3099231518144964820788023271879376709229714001

3764084809867978658529510006739111260756994408

9753390582057475682412280783083768946807490929

9000664612677438957122792816864210497114924506

0089883426395487923407270960045255641647938032

9208748907908718846547490771883119854009123766

6815094391582099789787493869000841436243301869

6421302399983783308291748517878603797508280810

3592342664629707478277022594516669131826353275

0459721128588809917629235359648280312833018171

0005794933671775247756138188251624261970375922

6988699534948582076989827395743394552711940761

1791835113914989049445355770027730619497767298

0260669670504016837925740693887617569601454449

9276972581093665191312721052278115251917840412

4367673524404737384465224825341893626881230552

7328546968260714278168002228798074070244850752

1448037763512227361867983577393931218817871606

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07066112523842723172130044052316518822861726721

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41146321329452330740862897780387121956885498221

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24816066220978249238575937850061273219687200337

89035477866076008916400687505888171614425501441

82085475396350323652648187055770228433908438167

36586314253203879525356975185649877821479286178

705928865041066448124318543086610072164875721440

480793606958451301165327463838036868796492090594

156317822009033686099313564426117237155623275759

0929894032650950005407047923775494731793964405265

2721638169573371657537839181682610205505569577900

793414578928661323091913547582724636229556907345

107444682183191447782123143587839071886838105212

403280892251314180176077121173328454494010902214

0862493152232879649101234124719725439336735732918

022273963249675195006138159820649149726668829546

544948576256

Ob Mersenne oder seine Mitstreiter diese Zahl wirklich ausgerechnet haben oder ob sie sich mit der Primfaktorendarstellung "zufrieden" gegeben haben, ist mir nicht bekannt.

Aufgabe 9

333. Wertungsaufgabe

„Bernd, ist dir eigentlich schon aufgefallen, dass es diese Aufgaben der Woche schon mehr als 10 Jahre gibt?“, fragte Mike. „Na logisch.“ „Apropos logisch, hast du eine Ahnung wie das gehen soll?“
Dr. Bunt aus Dresden hat einen Bruder in Chemnitz, der Professor für Informatik ist. Der Professor aber hat keinen Bruder in Dresden, der Doktor ist. Wie das wohl geht? – 2 blaue Punkte.
In Lisas Klasse kamen zu Beginn des Schuljahres zwei neue Schülerinnen, die sich zum Verwechseln ähnlich sahen. Lisa war sich sicher, dass es sich um Zwillinge handeln musste, aber das war nicht so. Die beiden neuen Schülerinnen haben die selben Eltern, sind gleich alt und haben am gleichen Tag Geburtstag. Wie geht das? - 2 rote Punkte
english version
“Bernd, do you know that the weekly maths challenge has already been running for over 10 years?”, Mike asked. “Of course I know that.”
“Speaking of your knowledge, you wouldn't be able to help me with this one, would you?”
Dr. Bunt from Dresden has a brother in Chemnitz who is a professor of Computer Science. This professor however, hasn't got a brother in Dresden who is a doctor. How can that be? - Two blue points.
At the beginning of the new school year two there were two new girls in Lisa's form who looked very much alike. Lisa was sure they had to be twins, however, they were not. The new girls have the same parents, are of the same age and their birthday is at the same day. How can that be? - two red points.

Lösung/solution:

 blau: einfachste Lösung Dr. Bunt ist eine Fau.

rot: Für etwas Verwirrung hat die Formulierung die gleichen bzw. die selben Eltern gesorgt. Also im Falle der selben Eltern ist die einfachste Lösung: Es handelt sich nicht um Zwilinnge, sondern um Drillinge (Vierlinge, ...), von denen eben nur zwei in der Klasse sind, warum auch immer. (Krank, andere Klasse, andere Schule, ...)

Aufgabe 10:

334. Wertungsaufgabe

„Eigentlich war ja die letzte Aufgabe nicht schwer, aber man muss eben darauf kommen“, sagte Lisa. „Da wird es mit der Aufgabe für euren Mathematikclub sicher einfacher sein.“ Lass hören:
Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, deren Ziffern alle verschieden sind. Außerdem sollen sich benachbarte Ziffern der Zahl um 1 unterscheiden. (Ausnahme: Es darf aber eine Neun neben einer Null stehen.) 4 blaue Punkte. Wie viele solcher Zahlen mit beliebiger Stellenzahl gibt es? 8 rote Punkte.

english version:
“Last week's maths problem wasn't exactly difficult if you know how to solve it”, Lisa said. “I guess the problem of your Maths Club will be more challenging. Let me hear.”

How many three-digit numbers are there whose digits are all different and differ by 1 in adjacent pairs (with the exception of 9 and 0)? - 4 blue points. How many of these numbers of any length are there? - 8 red points.

Lösung/solution:

Am besten man macht es gleich systemtisch:

1. Man nimmt einstellige Zahlen dann erhält man natürlich 10. (Einige Teilnehmer haben die weggelassen, weil von Ziffern die Rede war, aber kein Problem)

2. Nun betrachtet man zweistellige Zahlen und nimmt dazu, damit man nichts vergisst die 10 Ziffern aus 1. als "letzte" Stelle, denn die Null als erste geht eigentlich nicht. Beginnend mit der Null als letzte Ziffer ergeben:

10; 90; 21; 12; 32; 23; 43; 34; 54; 45; 65; 56; 76; 67; 87; 78; 98; 89; Es sind 18 Möglichkeiten. 

3. dreistellige Zahlen (blau): Das Verfahren von der letzten Ziffer auszugehen kann auch hier wieder angewandt werden.

Damit kommt man natürlich auch auf die zweistelligen, wobei die 2 und die 8 am Ende nur jeweils einmal genommen werden können, dafür aber jetzt die 1 und die 9 je zweimal an der letzten Stelle Verwendung finden. Es sind also wieder 18 Zahlen.

210; 890; 321; 901; 012; 432; 123; 543; 234; 654; 345; 765; 456; 876; 567; 987; 678; 098; 789; 109;

4. Die Ersetzungsmöglichkeiten sind bei vierstelligen Zahlen analog --> wieder 18 Möglichkeiten. Damit sind es insgesamt 172 = 10 + 9*18 Zahlen, die so gebildet werden können.

Aufgabe 11

335. Wertungsaufgabe

„Gestern haben wir eine merkwürdige Runde Bücherdrehen spielen müssen.“ „Bücherdrehen?“ „Wir sind 25 Schüler in der Klasse. Der Mathematiklehrer hatte unsere 25 Mathebücher mit der Rückseite nach oben in eine Reihe gelegt (Buch 1 bis 25). Wir stellten uns auch in eine Reihe. Die Aufgabe war nicht schwer. Der erste Schüler drehte alle Bücher nach oben. Der zweite drehte alle zweiten Bücher herum. Der dritte drehte alle Bücher herum, deren Nummer durch 3 teilbar war. Na ja bis eben der letzte Schüler noch das 25. herumdrehte. Allerdings mussten wir das zweimal machen, denn der Lehrer sah am Ende mit einem Blick, dass sich welche nicht konzentriert der Aufgabe gestellt hatten.“ Welche Bücher müssen am Ende mit der Seite nach oben liegen? – 4 blaue Punkte. Wenn sich alle 400 Schüler der Schule beteiligen, welche Bücher sind es dann und warum?– 6 rote Punkte

english version
“Yesterday we had to play a strange game of book turning.” “Book turning?” “We're 25 students in class. Our Maths teacher put our 25 Maths books face down in a row (book 1 to 25). We stood in a row, too. The task wasn't too difficult. The fist student turned all books face up. The second turned every second book. The third turned all books whose number could be divided by 3. And so on until the last student turned the 25th book. We had to go through that twice, though, because in the end our teacher instantly saw that not everyone had worked with the necessary concentration.”
How many books should be face up in the end? - 4 blue points. How many books should be face up if all 400 students of the school took part. With explanation – 6 red points.

Lösung/solution:

Hier die Lösung von Doreen N., danke:

blau:
-Buch 1 wird  1x umgedreht (nur bei Schüler 1), liegt also  mit der Vorderseite nach oben
-die Bücher 2,3,5,7,11,13,17,19 und 23 werden 2x umgedreht (bei Schüler 1 und der jeweiligen Buch-Nr.), liegen also wieder mit der Rückseite
nach oben
-die Bücher 4,9 und 25 werden 3x umgedreht, liegen also  mit der Vorderseite nach oben
-die Bücher 6,8,10,14,15,21 und 22 werden 4x umgedreht, liegen also wieder mit der Rückseite nach oben
-das Buch 16 wird 5x umgedreht (bei Schüler 1,2,4,8,16), liegt also mit der Vorderseite nach oben
-die Bücher 12,18 und 20 werden  6x umgedreht, liegen also wieder mit der Rückseite nach oben
-das Buch 24 wird  8x umgedreht (bei Schüler 1,2,3,4,6,8,12,24), liegt also wieder mit der Rückseite nach oben
->nur die Bücher 1, 4, 9, 16 und 25 haben die Vorderseite oben

rot:
Man erkennt bei blau schon, nach welchem System dieses "Spiel" funktioniert:
-wenn das Buch eine gerade Anzahl mal umgedreht wird, liegt es am Ende wieder mit der Rückseite nach oben, bei einer ungeraden Anzahl ist die
Vorderseite oben
-Buch 1 wird immer nur 1x umgedreht, hat also die Vorderseite oben
-die Buchnummern, die Primzahlen sind, haben immer 2 Teiler (die 1 und die Zahl selbst), werden also 2x umgedreht und haben die Rückseite oben
-bei den anderen Büchern geht es nach der Anzahl der Teiler, die meisten haben eine gerade Anzahl an Teilern, werden also eine gerade Zahl mal
umgedreht und haben die Rückseite oben
-Ausnahme sind die Buchnummern, die eine Quadratzahl darstellen, z.B. 4=2² oder 64=8², diese haben eine ungerade Anzahl an Teilern, werden
also eine ungerade Zahl mal umgedreht und haben deshalb die Vorderseite oben
-für unsere 400 Bücher bedeutet das: die Bücher 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361 und 400
liegen mit der Vorderseite nach oben, alle anderen Bücher mit der Rückseite
-übrigens: wenn man 2 Durchgänge direkt hintereinander macht, ohne nach dem 1.Durchgang alle Bücher wieder auf die gleiche Seite zu drehen,
zeigen nach dem 2.Durchgang wieder alle Bücher mit der Rückseite nach oben, da man sie auf alle Fälle eine gerade Anzahl mal gedreht hat

Aufgabe 12

336. Wertungsaufgabe
Bernd sitzt in seinem Zimmer und hat 5 gleichgroße Würfel. Sehr gespannt und konzentriert schiebt er sie hin und her als Mike dazu kommt. „Was machst du da?“ „Ich versuche herauszufinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, die fünf Würfel anzuordnen.“ Wie viele Möglichkeiten gibt es? Die Würfel werden passend aneinander gelegt. (Seite eines Würfels genau an eine Seite eines anderen Würfels). Nur eine Schicht von Würfeln nutzen. Drehung und Spiegelung einer Anordnung zählen nur einmal. Es sind immer alle 5 Würfel zu nehmen. Für je zwei Formen gibt es einen blauen Punkt.
Bei rot darf mit „Klebstoff gearbeitet“ werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es noch, die 5 Würfel anzuordnen, wenn die Bedingung nur eine Schicht an Würfeln zu nutzen, nicht zutreffen soll. Für je zwei Formen gibt es einen roten Punkt, am Ende runde ich auf.

english version:

Bernd is sitting in his room with 5 cubes of identical size. He is absorbedly pushing them here and there when Mike enters. “What are you doing?” “I'm trying to figure out how many ways there are to arrange 5 cubes.” How many ways are there? The cubes must be arranged side by side in just
one layer. Rotations and reflections of the same arrangement count as one. Use all 5 cubes each time. - one blue point for every two arrangements. How many arrangements are the when you can use more than one layer? - one red point for every two figures.

Lösung/solution:

blau: 12 Möglichkeiten, rot: 17 Möglichkeiten

Eine schöne Spielvariante, die alle insgesamt 29 Möglichkeiten beinhaltet findet sich --> hier <--

Bilder zur Lösung gibt es viele. Das Suchwort heißt dann Pentacuben bzw. PentaKuben. (Penta - Fünf, Kuben (cuben (Würfel))

Alle Varianten für blau zu finden ist nicht sooooooooooo schwer. Am besten natürlich wieder systematisch:

1. 5 Würfel hintereiander --> eine Möglichkeit

2. 4 Würfel hintereinander --> der verbleibende 5. Würfel kann nun nur an den ersten oder zweiten der Viererreihe gelegt werden --> zwei Möglichkeiten.

3. 3 Würfel aneinander

3.1 Die verbleibenden Würfel liegen aneinander. Dieser "Zweierblock" "abstehend" an den Anfang oder in die Mitte des Dreieses gelegt werden oder schmeigt sich an den Dreier driekt oder überstehend an --> vier Möglichkeiten

3.2 Die verbleibenden zwei Würfel sind einzeln. Auf der gleichen Seite des Dreiers eine Möglichkeit. Auf verschieden Seiten (Aufpassen, dass nicht ein weiter oben beschriebener fall auftritt) Einer am Rand des Dreiers, der anders auch am Rand (am anderen Rand) oder in der Mitte --> zwei Möglichkeiten und schließlich die beiden mittig --> eine Möglichkeit.

4. keine 3 Würfel aneinander (etwas hin und her geschoben ...) --> ein Möglichkeit.

1. bis 4. zusammen ergibt genau 12 Möglichkeiten.

Für die rote Aufgabe funktioniert das entsprechend, wobei an sehr aufpassen muss, das sich nichts doppelt.

 Auswertung Serie 28 Anmerkung Punkte der 336, die noch einzutragen wären, weil Lösungen in der Schule liegen, gehen nicht verloren, werden aber hier nicht nachgetragen.