Serie-7

Aufgabe 1

Bernds Großvater hat im Übungsheft aus seiner Schulzeit folgende Aufgabe wieder gefunden:
Ein Weinhändler bekam von seinem Lieferanten 6 Fä&er Wein. Diese enthielten feinsten trockenen Rotwein und hatten folgende Abmeßungen: 15 Liter, 16 Liter, 18 Liter, 19 Liter, 20 Liter und 31 Liter. (Das muss eine alte Aufgabe sein, heute sind die doch alle gleich groß, nun ja).
Am ersten Tag verkaufte er 3 Fässer, am zweiten Tag 2 Fässer und am 3. Tag wurde er das letzte Fass los. Kein Fass wurde geöffnet, sondern immer komplett verkauft. Die Menge des verkauften Weines war am ersten Tag genau doppelt so groß wie am zweiten Tag. Wie viel Liter Wein verkaufte er jeweils an den drei Tagen?
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Die Minimalmenge am zweiten Tag wären 15 Liter + 16 Liter = 31 Liter. Dann wären am 1. Tag 62 Liter verkauft worden. Dann passt das 31 Literfass nicht, aber auch die verbleibenden 3 Fässer ergeben nicht 62 Liter. Also geht die Minimalmenge nicht.
2. Versuch: Am zweiten Tag wären es 15 Liter + 18 Liter = 33 Liter. Dann wären am 1. Tag 66 Liter verkauft worden. Die lassen sich (eindeutig) durch 31 Liter + 19 Liter + 16 Liter realisieren, dann bleibt das 20 Literfass für den 3. Tag. Der 2. Versuch bringt eine Lösung.
3. Versuch: Am zweiten Tag wären es 15 Liter + 19 Liter = 34 Liter. Dann wären am 1. Tag 68 Liter verkauft worden. Die verbleibenden Fässer reichen nicht um mit dreien von ihnen die 68 Liter zusammenzustellen. (31 + 20 + 18 = 69 bzw. 31 + 20 + 16 = 67). 3. Versuch gescheitert.
Zwischenüberlegung die maximale Literzahl bei drei Fässern ist 70 Liter (31 + 20 + 19). dass heißt es können am zweiten Tag höchstens 35 Liter sein.
4. Versuch: Am zweiten Tag wären es 15 Liter + 20 Liter = 35 Liter. Dann wären am 1. Tag 70 Liter verkauft worden. Die sind aber nicht mehr schaffbar mit drei Fässern, denn dazu würde das 20 Literfass gebraucht, nun ist also gezeigt, weitere Lösungen gibt es nicht.
Es gibt auch elegantere Lösungen so von Katha:
Die Menge an Wein die am 2. Tag verkauft wurde sei x, x ist Element aus N. Die Menge an Wein die am 3. Tag verkauft wurde sei y, y ist Element von F={15; 16; 18; 19; 20; 31}.
2x+x+y=15+16+18+19+20+31. 3x+y=119 Liter. Diese Gleichung ist nur definiert für y=20 Liter. Daraus folgt 3x=99 Liter und x=33 Liter. Da am 2. Tag 2 Fässer verkauft wurden, die zusammen 33 Liter fassten, kommen nur die Fässer 15 Liter und 18 Liter in Frage. Am 1. Tag wurden also das 16, das 19 und das 31 Liter Fass verkauft. Am 2. Tag das 15 und das 18 Liter Fass und am dritten Tag das 20 Liter Fass.