Serie-3

Aufgabe 6:

Kaputte Schachbretter
Der kleine Bernd erwischt bei seiner großen Schwester einen Stapel Blätter mit leeren Schachbrettern drauf. Mit seiner neuen Schere schneidet aus einem Blatt ein 3 x 3 Feld raus, aus dem nächsten ein 4 x 4 Feld, dann ein 5 x 5 Feld, ein 6 x 6 Feld, ein 7 x 7 Feld und ein vollständiges Blatt nahm er so mit in sein Zimmer.
Als er stolz die Schachbrettstücke betrachtete fiel ihm bei dem kleinsten Brett auf, dass er ja dort ein großes 3 x 3 sehen kann, aber auch 2 x 2 Quadrate und natürlich die 1 x 1 Felder. Er rechnete zusammen und fand heraus, dass er auf dem 3 x 3 Feld insgesamt 14 Quadrate finden konnte.
Mit etwas systematischer Suche lassen sich auch Anzahl der möglichen Quadrate auf dem
4 x 4 Feld,
5 x 5 Feld,
6 x 6 Feld,
7 x 7 Feld und
8 x 8 Feld ermitteln.
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Um das System zu finden, sollte ganz von vorn begonnen werden.
1 x 1 Feld --> 1 Quadrat
2 x 2 Feld --> 5 Quadrate, es sind also zu dem einen vier dazu gekommen: 5=1+4
3 x 3 Feld --> 14 Quadrate, es sind also 9 Quadrate mehr geworden: 14=5+9 bzw. 14=1+4+9
Das System für ein n x n Feld ist beschreibbar als Anzahl(n)= Anzahl (n-1)+n² oder als Anzahl (n)=1²+2²+...+n².

Die Summenformel erlaubt die Berechnung für ein n x n Feld, ohne die vorherigen Felder zu berechnen.
Eine andere Überlegung zur Herleitung der Formel ist die Gedankenspielerei mit Schablonen:
Ein n x n Feld besitzt ein Quadrat der Kantenlänge n. Eine Schablone der Kantenlänge n-1 lege ich links unten auf, die Schablone kann ich eins nach rechts verschieben und wenn ich dasselbe eine Verschiebung weiter oben mache habe ich alle 4 Möglichkeiten für die n-1 Schablone erreicht.
Die n-2 Schablone kann nun nach dem Auflegen noch zweimal nach rechts verschoben werden und ich kann das zweimal auch nach oben ausführen. Das ergibt 3x3=9 bzw. 3² Möglichkeiten.
...
Damit ist die Formel Anzahl (n)=1²+2²+...+n² auch bestätigt.
Ergebnisse:
4 x 4 Feld --> 30
5 x 5 Feld --> 55
6 x 6 Feld --> 91
7 x 7 Feld --> 140
8 x 8 Feld --> 204