Serie 37

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Aufgabe 12

444. Wertungsaufgabe

„Nach den vielen Karten der letzten Wochen sollte eine Konstruktion folgen“, meinte Mike. „Einverstanden, hier kommt meine Idee“, sagte Lisa.
Zeichne in ein (kartesisches) Koordinatensystem die Punkte A(3; 1), B (2; 4) und C (4;4). Zeichne eine Gerade durch A und B und eine zweite Gerade durch A und C. Beschreibe wie man Kreise konstruieren kann, die die beiden Geraden berühren und einen Radius von je 2,0 cm haben. Gib die Koordinaten der Mittelpunkte dieser Kreise an. 6 blaue Punkte.
Sechs rote Punkte gibt es für die Funktionsgleichungen der Normalparabeln (y=x²+px+q), die die obigen Geraden als Tangenten haben.

Termin der Abgabe 27.11.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 27.11.2014. Deadline for solution is the 27th. November 2014.

444
“After all the cards over the last few weeks let's have a construction”, Mike suggested.
“Agreed, here's my idea”, Lisa said:
Mark points A(3; 1), B (2; 4) and C (4;4) in a (Cartesian) coordinate system. Draw a line through A and B and a second one through A and C. Explain how you can construct circles that would touch both lines and have a radius of 2cm each. Give to coordinates of centres. - 6 blue points.
Six red points will be awarded for the equation of the basic parabolas (y=x²+px+q) whose tangent lines are the above lines.

“Dopo tutte quelle cartine di settimana scorsa e` ora di presentare una costruzione”, disse Mike. “D´accordo, eccoti qui` la mia idea” , disse Lisa.
Segna in un sistema cartesiano i punti A(3;1), B(2;4) e C(4;4). Disegna una retta che vanno per i punti A e B ed una seconda retta che passa per A e C. Descrivi come si possono costruire dei cerchi che tocchino le due rette e che abbiano un raggio di 2,0 cm ciascuno. Indica le coordinate dei punti centrali di questi cerchi. 6 punti blu.
Vengono assegnati sei punti rossi per le funzioni delle parabole (y=x²+px+q) che hanno come tangenti le retti citate sopra.

Lösung/solution/soluzione:

Hier die Lösungen von Hans (Amstetten), danke:
1. Die Mittelpunkte der gesuchten Kreise müssen auf den Winkelsymmetralen der beiden Geraden liegen. Es ergeben sich eine senkrechte und eine waagrechte Winkelsymmetrale, die jeweils durch den Punkt A gehen. Diese werden geschnitten mit dem Parallelenpaar z. B. zur Geraden durch A und B im Abstand von 2 cm. Man erhält vier Schnittpunkte, die die Mittelpunkte der gesuchten Kreise sind:
M1 = (3/7,32), M2 = (5,11/1), M3 = (3/-5,32), M4 = (0,89/1)

2. Die beiden Normalparabeln haben die senkrechte Winkelsymmetrale (mit der Gleichung x = 3) als Symmetrieachse. Ihre Scheiteln liegen daher auf dieser Winkelsymmetralen.
Zunächst soll die Gleichung der oberen Normalparabel gefunden werden: Da die Tangente im Scheitel S die Steigung 0 hat, ergibt sich die Bedingung y’(3)=0, woraus man p = -6 erhält. Die Gleichung der Normalparabel kann somit zunächst in der Form (*) y = x^2 - 6x + q geschrieben werden. Da die Gerade durch A und B die Steigung -3 hat und Tangente an die Parabel ist, lässt sich die x-Koordinate des Berührungspunktes T berechnen aus der Bedingung y’ = 2x - 6 = -3, also x = 1,5. Durch Einsetzen dieses Wertes in die Geradengleichung der Geraden durch A und B y = -3x + 10, erhält man die y-Koordinate des Berührungspunktes T, also T = (1,5/5,5). Setzt man die Koordinaten von T in die Parabelgleichung (*) ein, erhält man auch den Wert q = 49/4. Daher lautet die Gleichung der oberen Normalparabel y = x^2 - 6x + 49/4.
Um die Gleichung der unteren Normalparabel zu erhalten, kann man ähnlich vorgehen. Kürzer ist es, eine Punktspiegelung der Punkte S und T am Punkt A durchführen und die Koordinaten dieser neuen Punkte S’ und T’ in die allgemeine Gleichung der Normalparabel y = -x^2 + px + q einsetzen. (Das Minusvorzeichen bei x^2 ergibt sich, weil diese Parabel nach unten geöffnet ist.) Man erhält ein Gleichungssystem in den Unbekannten p und q, dieses löst man und erhält die Gleichung der unteren Normalparabel y = -x^2 + 6x - 41/4.