Serie 51

Aufgabe 9

609. Wertungsaufgabe

„Dein mit Muster versehenes Dreieck ABC gefällt mir.“, sagte Bernd zu Maria. „Mir auch, ich zwar noch nicht fertig, aber du kannst dir sicher vorstellen wie ich es gemacht habe.“

Das Seiten des Dreiecks ABC wurden halbiert → Punkte D, E und F. Die Seitenhalbierenden wurde eingezeichnet → Punkt S. Anschließend 3 rote und drei blaue Dreiecke eingezeichnet.. Für das Dreieck AFS wurde die Konstruktion – halbieren- Seitenhalbierende und 6 Teildreiecke noch einmal ausgeführt.. Zu sehen sind noch die Schwerpunkte der roten und blauen Dreiecke. S₁, S₂, S₃ S_4, S₅ und S₆. Die wurden zu einem Sechseck verbunden.
Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn die Fläche von Dreieck AMS₁ 2 cm² groß ist ? Begründete Antwort 3 blaue Punkte. Und wie groß ist der Flächeninhalt des Sechsecks? 6 rote Punkte.

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern.  © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 13.06.2019. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 13.06.2019. Deadline for solution is the 13th. June 2019. Date limite pour la solution 13.06.2019. Soluciones hasta el 13.06.2019. Beadási határidő 2019.06.13.

hun

„Tetszik a mintás ABC háromszöged.” – mondta Bernd Máriának. „Nekem is, és bár még nincs kész, el tudod biztos képzelni, hogyan készítettem.”

Az ABC háromszög oldalait megfeleztem, ezek a D, E és F pontok. Az oldalfelezők megadják az S pontot. Továbbá a 3 piros és a 3 kék háromszöget. Az AFS háromszögnél a szerkesztést – felezés, oldalfelezők és 6 részháromszög – még egyszer megcsináltam. Láthatók még a piros és kék háromszögek súlypontjai: S1, S2, S3 S4, S5 és S6. Ezeket egy hatszöggé kötöttem össze.
Mekkora a területe az ABC háromszögnek, ha az AMS1 háromszögé 2 cm²? Megindokolt válasz 3 kék pontot ér. Mekkora a területe a hatszögnek? 6 piros pont
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket.  ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"J'aime bien ton triangle ABC," dit Bernd à Maria. "Moi aussi, je n'ai pas encore fini, mais tu peux certainement imaginer comment je l'ai fait."

Les côtés du triangle ABC ont été réduits de moitié → points D, E et F. La bissectrice a été dessinée → point S. Ensuite, 3 triangles rouges et trois triangles bleus ont été dessinés. Pour le triangle AFS, la construction - découpage en moitiés - coupe latérale et 6 sous-triangles a été exécutée à nouveau. On peut toujours voir les points focaux des triangles rouge et bleu. S1, S2, S3, S4, S5 et S6. Ils étaient connectés à un hexagone.
Quelle est l'aire du triangle ABC si l'aire du triangle AMS1 est de 2 cm²? Réponse raisonnable 3 points bleus. Et quelle est la superficie de l'hexagone? 6 points rouges.

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus.
Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„Me gusta este triángulo tuyo con el diseño“, le dijo Bernd a Maria. „A mi también. Aunque todavía no está lista supongo que te puedes imaginar como lo he hecho.“

Los lados del triángulo ABC fueron partidos por la mitad → puntos D, E y F.
Se marcaron las medianas → punto S.
Finalmente se marcaron 3 triángulos rojos y 3 triángulos azules.
Para el triángulo AFS otra vez se realizó la misma construcción: partir los lados por la mitad, marcar las medianas y las 6 triángulos derivados… Todavía se pueden ver los centros de los triángulos rojos y azules: S₁, S₂, S₃ S_4, S_{5 y} S₆. Éstos están conectados a un hexágono.
Si el plano del triángulo AMS₁ mide 2 cm² ¿cuánto mide la área del triángulo ABC? Respuesta fundada: 3 puntos azules.
¿Cuanto mide la área del hexágono? 6 puntos rojos
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“I like your patterned triangle ABC”, Bernd said to Maria.
“So do I. I’m not quite finished, but I’m sure you know how I did it.”

The thre sides of the triangle ABC were halved → midpoints D, E and F. The the medians were constructed → centroid S. The the three red and the three blue triangles were drawn. To get triangle AFS the steps above were repeated – midpoints, medians, centroid and 6 sub-triangles. You can see the centroids of the red and blue triangles S₁, S₂, S₃ S_4, S₅ and S₆. They have been connected to form a hexagon.
What is the area of triangle ABC, given that the area of AMS₁ is 2cm²? Answer with explanation – 3 blue points.
What is the area of the hexagon? - 6 red points

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits.  ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Il tuo triangolo ABC, portando motivi, mi piace.” Bernd diceva a Maria. “Anche a me. Non è ancora finito, ma sicuramente puoi immaginare come l’ ho fatto.”

I lati del triangolo ABC sono stati bisecati -> Punti D, E, F. Le mediane venivano disegnati -> Punto S. Dopo di questo sono stati disegnati 3 triangoli rossi e tre triangoli blu. Per il triangolo AFS tutta la costruzione (bisecare, mediane, sei triangoli) veniva rifatto. Inoltre si vedono i baricentri dei triangoli rossi e blu (S₁, S₂, S₃ S_4, S₅ und S₆). Essi formano un’ esagono.
Qual’ è la superficie del triangolo ABC, se la superficie del triangolo AMS₁ ha una misura di 2 cm²? Risposta fondata 3 punti blu.
E qual’ è la superficie del’ esagono? 6 punti rossi.

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat: 

Lösungen von Hirvi --> pdf <-- und Reinhold M., danke.

Ich weiß immer nicht genau, was man voraussetzen darf - aber wohl wenigstens, dass sich die Seitenhalbierenden tatsächlich in genau einem Punkt schneiden, es also tatsächlich jeweils (nur) sechs Teildreiecke gibt.

1. Die Flächeninhalte AAFS und AFBS der Dreiecke AFS bzw. FBS sind gleich, da sie eine gleichlange Grundlinie AF = FB und die gleiche zugehörige Höhe, das Lot von S auf AB, haben:
 (1) AAFS = AFBS.
Analog und mit den analogen Bezeichnungen folgt
 (2) ABDS = ADCS
und
 (3) ACES = AEAS.
2. Analog folgt für die größeren Hälften
 (4) AAFC = AFBC,
 (5) ABDA = ADCA
und
 (6) ACEB = AEAB.
3. Aus
 (7) AAFC = AAFS + AEAS + ACES
und
 (8) AFBC = AFBS + ADBS + ADCS
und (4) folgt mittels (1)
 (9) AEAS + ACES = ADBS + ADCS,
also mittels (2) und (3) (und halbieren)
 (10) ABDS = ADCS = ACES = AEAS.
Mit der gleichen Schlussweise folgt aus
 (11) ABDA = ABDS + AFBS + AAFS
und
 (12) ADCA = ADCS + ACES + AEAS
 (13) AAFS = AFBS = ACES = AEAS,
d.h. alle sechs Teildreiecke haben den gleichen Flächeninhalt.
4. Der damit bewiesene Satz, dass die drei Seitenhalbierenden ein Dreieck in sechs Dreiecke mit dem gleichen Flächeninhalt teilen, gilt nun auch für das Dreieck AFS, womit
 (14) AAMS1 = 1/6 AAFS = 1/6 (1/6 AABC)
oder umgekehrt
 (15) AABC = 36 AAMS1
folgt. Für AAMS1 = 2 cm^2 ist der Flächeninhalt AABC des Dreiecks ABC also 72 cm^2.

Für den zweiten Teil benötige ich nun doch noch, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt, was man z.B. folgendermaßen zeigen kann:
 - Die Dreiecke ABC und ADC sind ähnlich: gleicher Spitzenwinkel Winkel(DCE) = Winkel(BCA) und gleiches Verhältnis der angrenzenden Seiten CE : CA = CD : CB = 1:2.
 - Folglich sind ED und AB parallel und stehen im gleichen Verhältnis ED : AB = 1 : 2 zueinander (vgl. auch Umkehrung des 1. Strahlensatzes!).
 - Mit der Parallelität von AD und AB sind auch die Dreiecke ABS und DES ähnlich: gleicher Spitzenwinkel Winkel(BSA) = Winkel(ESD) (Scheitelwinkel) und gleicher Winkel Winkel(SAB) = Winkel(SDE) (Wechselwinkel).
 - Folglich stehen auch hier alle entsprechenden Seiten im gleichen Verhältnis zueinander, d.h. ED : AB = 1 : 2 folgt DS : SA = ES : SB = 1 : 2.
Analog zeigt man FS : SC = 1 : 2.

Seien nun P der Mittelpunkt von FB und Q der Mittelpunkt von BD sowie R der Schnittpunkt von PQ mit BE und T der Schnittpunkt von S2S3 mit BE.
Durch analoge Ähnlichkeitsbetrachtungen wie eben folgt dann mit Hilfe des Teilungsverhältnisses der Seitenhalbierenden:
5. S1S2 ist parallel zu MP, und es gilt S1S2 = 2/3 MP (gleicher Spitzenwinkel, Seitenverhältnis 2:3), also
 S1S2 = 4/3 AM.
6. Die Höhe des Dreiecks S1S2S ist das doppelte der Höhe des Trapezes MPS2S1, also auch der des Dreiecks AMS1.
7. Zusammen folgt (ohne jetzt die Formel explizit aufzuschreiben)
 AS1S2S = 8/3 AAMS1.
Vollkommen analog folgt auch
 AS3S4S = 8/3 AAMS1,
 AS5S6S = 8/3 AAMS1.
8. PQ ist parallel zu AC, und es gilt PQ = 1/4 AC (gleicher Spitzenwinkel, Seitenverhältnis 1:4).
9. S2S3 ist parallel zu PQ, und es gilt S2S3 = 2/3 PQ (gleicher Spitzenwinkel, Seitenverhältnis 2:3), also
 S2S3 = 1/6 AC.
10. Die Teilungsverhältnisse von BE
 - SE = 1/3 BE,
 - BR = 1/4 BE,
 - TS = 2/3 RS
übertragen sich entsprechend des Strahlensatzes direkt auf die entsprechenden Höhen, so dass folgt, dass sich die Höhe des Dreiecks S2S3S von der des Dreiecks ABC durch den Faktor 2/3 (1 - 1/3 - 1/4) = 5/18 unterscheidet.
11. Zusammen folgt (wieder ohne die Formel explizit aufzuschreiben)
 AS2S3S = 5/108 AABC = 5/108 (36 AAMS1) = 5/3 AAMS1.
Vollkommen analog folgt auch
 AS4S5S = 5/3 AAMS1,
 AS6S1S = 5/3 AAMS1.
Für den Flächeninhalt des Sechsecks S1S2S3S4S5S6 folgt damit
 AS1S2S3S4S5S6 = AS1S2S + AS2S3S + AS3S4S + AS4S5S + AS5S6S + AS6S1S
               = 3 (8/3 + 5/3) AAMS1
               = 13 AAMS1.
Im konkreten Fall AAMS1 = 2 cm^2 hat das Sechseck also einen Flächeninhalt von 26 cm^2.

Das Edelsteinrätsel schreibe ich um zu
 ABC - DA = AEF
   /    -     -
   G * GD = CED
   =    =     =
  HI + CI = CEJ.
Damit folgt nacheinander
 C = 1, E = 0 (3. Zeile),
 A = 2 (3. Spalte),
 G = 3, D = 5 (2. Zeile),
 F = 9, B = 6 (1. Zeile) und
 H = 8, I = 7, J = 4 (3. Zeile).
Die Lösung ist also zusammengefasst
 261 - 52 = 209
   /    -     -
   3 * 35 = 105
   =    =     =
  87 + 17 = 104.