Serie-12

Aufgabe 1

Nun ja, war der Sport auch insgesamt nicht so erfolgreich wie gewünscht, so sind Bernd und Mike bei der Suche nach Denksportaufgaben wieder fündig geworden. So gaben sie eine Aufgabe aus dem Unterricht an Bernds Vater weiter. (Eigentlich ist es eine alte Aufgabe aus Indien, aber egal.)
Von einer Herde Affen sprang das Quadrat ihres 8. Teils in den Bäumen herum. Die restlichen 12 saßen im Gras. Wie viele Tiere gehören zu der Herde?
Der Vater überlegte und meinte dann, zum einen kann sich so eine Formulierung wohl doch nur ein Mathematiker ausdenken, ob der aber sofort daran gedacht hat, dass es nicht nur auf eine Herdengröße zutrifft, wird wohl nicht mehr in Erfahrung zu bringen sein.
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Hier die Antwort von mawi - war ganz schnell, danke.
Anzahl Affen in der Herde: h
dann gilt h = (h/8)² + 12
=> quadratische Gleichung
h² - 64h + 12*64 = 0
h_{1/2} = 32 ± sqrt( 32² - 12*64 )
= 32 ± sqrt(256)
= 32 ± 16
h_1 = 48
h_2 = 16
=> 48 Affen, der achte Teil zum Quadrat in den Bäumen ist 36, übrig bleiben 12 Affen
=> 16 Affen, der achte Teil zum Quadrat in den Bäumen ist 4, übrig bleiben 12 Affen
Die Herde hatte entweder 48 oder 16 Mitglieder.

Aufgabe 2

Nach der affigen Aufgabe vom letzten Mal, sagte Bernds Vater, habe ich etwas ganz anderes. Kennt ihr dieses etwas merkwürdige Gedicht?
Now I even I would celebrate
In rhymes unapt the great
Immortal Syracusan rivaled nevermore
Who in his wondrous lore
Passed on before
Left men his guidance
...
Ach Vater, du weißt doch, meine Kenntniss der englischen Sprache sind nicht so toll. Das ist doch kein Problem. Wieso? Nun, weil sich etwas Mathematisches dahinter verbirgt. Gibt es da auch eine deutsche Variante. Aber sicher, z.B:
Ist's doch o Bernd schwierig zu wissen wofür sie steht!
Aber das ist doch kürzer als der englische Spruch. Das stimmt, aber egal wie lang ein Spruch auch wäre, da das Gesuchte unendlich ist, kann so ein Spruch immer nur den Anfang (oder einen Abschnitt) beinhalten.
Was verbirgt sich hinter den Sprüchen? (2 Punkte)
Finde einen eigenen - deutschsprachigen - sinnigen Spruch, der mindestens 10 Worte umfasst (3 Punkte)

Bei den vorgestellten Sprüchen geht es um die ersten Ziffern der Zahl Pi.
"raffinierte" Variante von Andreas, der die Idee des Ausschnitts aufgriff.
Die Zahlen eines Abschnitts von Pi entsprechen der Anzahl der Buchstaben oder Zahlen eines Wortes.
Dieser Satz beginnt an der 61603099. Stelle des Pi\'s.
Von Andree:
GIB, O GOTT O ALLEN SCHUELERN PI SOFORT GENAU INS HIRNE EIN !
und auch der
Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft, mächtige Zahlreih'n dauernd verkettet bis in die späteste Zeit getreu zu merken; drum hab' ich Ludolfen mir zu Lettern umgeprägt. Von Sebastian:
Ist's heut, o Tommy, stürmisch am Gipfel, ( 3,1415926...)
möchte mit einer Freundin Skifahren? (...53589...)
Leichte Windprise nur an der Seilbahn dort hinten, am Abhang. (... 7932384626 )
von Doreen:
Bin i' hier u. frage: Strickste zu Ostern einen Hut, kurze Söckchen, Wollschal, anstatt Ostereier für de Oma besorgen? Von Kim:
Das P will I nicht vermissen so sollen beide für immer zusammen glücklich bleiben
Von Christian:
wer's soll o große Kosmische du wirds mal ...
Von Michael:
Drehst du dich im Kreis, kommst du nie ans Ziel.
(Anmerkung: Im Sinne meiner Intention der Aufgabe beginnt dieser Spruch an der 656017. Stelle von Pi, aber ich gebe zu, dass es die Formulierung der Aufgabe zulässt streng genommen jeden Satz mit 10 Worten zulässt. Diese Antwort hat zudem noch einem philosophischen Bezug zum Kreis.)

Aufgabe 3

So einfach zu lernen, sind die Sprüche aber auch nicht alle, meinte Bernd. Einige gefallen mir aber ausgesprochen gut, sagte Mike. Mag ja sein, aber was ich heute in meinem alten Hefter gefunden habe, ist dann wieder eher was für mich. Lass mal sehen.
Gesucht ist eine Zahl. Ach was? Warte es ab. Also gesucht ist eine Zahl, die in zwei Summanden zerlegt wird. Dabei ist der erste Summand 25 Prozent des zweiten Summanden. Der zweite Summand ist um 25 größer als 25 Prozent des ersten Summanden.
He, ich höre immer nur 25. Ach, jetzt wird es klar, cool.
Wie heißt die gesuchte Zahl? Zu erreichen sind 5 Punkte.

Hier die schnelle Lösungsvariante von PC, danke
I x+1/4x=y
II x=25+(1/4:4) => x=25+1/16x |-1/16x
II' 15/16x=25 |:15/16
x=26/2/3 (=262/3 =80/3)
x in I 5/4*80/3=y
y=400/12=33/1/3 (=100/3)
x:4
80/3:4=6/2/3 (=20/3)
=>1/4x=6/2/3
1/4x:4
20/3:4=1/2/3 (=5/3)
Kontrolle:
x+1/4x=
26/2/3+6/2/3=33/1/3
(1/4x:4)+25=
1/2/3+25=26/2/3
Alles ist stimmig!!! => Die gesuchte Zahl ist 33 1/3 (100/3), zerlegt in die Summanden 26 2/3 (80/3) und 6 2/3 (20/3)!!!
Q.E.D

Schript zur Erstellung zur Erstellung solcher Aufgaben

Aufgabe 4

Die letzte Aufgabe hatte mich erst ein wenig verwirrt, meinte Mike, bis mir der Unterschied zwischen 25 und 25 Prozent auffiel. Außerdem war ich etwas verwirrt, weil da so eine krumme Zahl rauskam, aber es hat ja geklappt.
Aber was ich hier gefunden habe, geht auf keine Kuhhaut. Für welche Zahlen gilt: a² = a²
Was ist denn daran schwierig - ist doch klar, dass gilt für jede Zahl. Ja schon, aber ich habe einen Beweis gesehen und da steht was anderes. Zeig mal her.
a² = a² | - 6a (Wenn man von der irrigen Annahme ausgeht, dass die Behauptung gilt, kann man das sicher abziehen)
- 6a + a² = a² - 6a | + 9
9 - 6a + a² = a² - 6a + 9 (hier sind aber die binomischen Formeln anwendbar)
(3 - a)² = (a - 3)² | Wurzel aus beiden Seiten
3 - a = a - 3 | - a - 3
- 2a = - 6 | :(-2)
a = 3
Du siehst aus a² = a² folgt a = 3
Komisch, aber da muss was falsch sein, aber was?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Hier die sehr ausführliche Antwort von Andreas aus Bautzen, danke:
der Knackpunkt bei der neuen Aufgabe ist, dass beim Umformen von Gleichungssystemen immer nur Operationen verwendet werden dürfen, die in beide Richtungen anwendbar sind. Die angewandte Operation muß umkehrbar sein, will man das Ergebniss nicht verfälschen. Eine Operation, die diese Vorraussetzung erfüllt ist z.B. die Addition. Ihre Umkehrung, die Subtraktion, führt wieder zum ursprünglichen Wert des Gleichungssystems.
Beispiel: x = 3 |+10; x+10 = 13 |-10; x = 3.
Eine Operation, die nicht umkehrbar ist, ist das Quadrieren mit der Umkehrung Wurzelziehen, Beispiel: x = 3 | ^² x² = 9 | Wurzel aus beiden Seiten; ±x = ±3. Es ist nicht mehr feststellbar welchen Wert die Gleichung hatte.
Bei der gestellten Aufgabe bedeutet dies:
a² = a² | - 6a; das ist erlaubt, möglich wäre auch jede andere Operation, z.B. -8a
- 6a + a² = a² - 6a | + 9; auch hier wäre jede andere Operation möglich, z.B. +16
9 - 6a + a² = a² - 6a + 9 | fraglich ist hier die Reihenfolge des Zusammenfassens, eigentlich stehen auf jeder Seite zwei binomische Formeln, so dass es drei Varianten gibt:
(I) (3 - a)² = (3 - a)²;
(II) (a - 3)² = (a - 3)²;
(III) (3 - a)² = (a - 3)².
Hier wurde also der erste Trick angewendet.
(3 - a)² = (a - 3)² | Wurzel aus beiden Seiten, hier ist zu beachten, dass der Wert einer gezogenen Wurzel auch negativ sein kann. Je nach angewandeter Zusammenfassung ergibt sich also:
(I) ±(3 - a) = ±(3 - a);
(II) ±(a - 3) = ±(a - 3);
(III) ±(3 - a) = ±(a - 3).
Aufgelöst ergeben sich folgende Gleichungen:
3 - a = 3 -a => a = 0
-3 + a = 3 - a => a = 3
Dies eine Lösung, nicht eine allgemeine Lösung.
Die Gleichung a² = a² ist für alle reellen Zahlen erfüllt. Je nach Addition eines beliebigen Summanden kann man diese Gleichung zu einer beliebigen binomischen Formel umformen. Nimmt man die Einschränkung einer irreversiblen Operation vor, erhalt man eine Lösung, nicht die allg. Lösung.

Aufgabe 5

Bernd und Mike kamen bei ihrer Skiwanderung beim Bernds Opa vorbei. Der saß vor einem Spielbrett, welches aus einer Reihe von Quadraten bestand und zwar genau 10. Auf diesem lagen vier rote und und vier blaue Spielsteine nebeneinander und zwar abwechselnd, die beiden linken Felder waren frei. Was ist denn für ein Spiel fragten die beiden wie aus einem Mund.

Hier die schnellste Antwort der Kinder von Andree, vielen Dank.
+ + R B R B R B R B wird zu (1. Zug)
B R R B R B R + + B wird zu (2. Zug)
B R R B + + R R B B wird zu (3. Zug)
B + + B R R R R B B wird zu (4. Zug)
B B B B R R R R + +
Interessanterweise, haben alle Teilnehmer nur diese Variante gefunden, gibt es also nur die?
Wer probieren will, der kann auch das noch das probieren:
+ + R B R B R B R B R B in 5 Aktionen sortieren
...
++(RB)_n, d.h. n Paare mit n > 3 lassen sich immer mit n Aktionen umsortieren.
(Beweisidee: Man zeigt, das es für n=4, n=5; n=6 und n=7 geht. Dann mit vollständiger Induktion:
Induktionsannahme: Es wird angenommen, für n-4 Paare gilt, dass die Aufgabe mit n-4 Aktionen erfüllbar ist.
Dann ist zu beweisen, dass für n Paare 4 Aktionen mehr notwendig sind als für n-4 Paare

Aufgabe 6

Mike und Bernd haben sich nicht aufs Glatteis führen lassen, d.h. auf den zugefrorenen Teich vor dem Haus schon, aber nicht bei der letzten Aufgabe. Beim Aufwärmen las Bernd in einem Geheimbericht aus Absurdistan. Allerdings stammt der aus dem 18. Jahrhundert und so ist es nicht zu befürchten, dass irgend jemand nächste Woche verlangt einen Untersuchungsauschuss einzurichten.
Der König des Landes wollte aus einer Laune heraus etwas Gutes tun (Das kann nur sehr lange her sein.) In dem Gefängnis des Landes saßen etliche Gefangene und von denen wollte der König einige freilassen. Aber wer sollte es sein? Da kam ihm (???) eine absurde Idee.
Das Gefängnis hatte genau 100 durchnummerierte Zellen, wo bei die erste seit Jahren nur als Abstellkammer diente und nie aufgeschlossen wurde, die spielt also keine Rolle, außer beim Zählen bzw. als Startnummer.
Zu Beginn sind alle Türen zu.
Der Wärter sollte alle Zellen aufschließen - außer Nummer 1 natürlich.
Bei den anderen Rundgängen gilt die Regel: Gehe bis zu einer Tür, die offen ist, schau auf die Zellennummer, diese sei x. Diese Tür bleibt offen. Schließe die Türen 2x, 3x usw. bis zur Nummer 100. Trifft der Wärter dabei auf eine geschlossene Tür, so bleibt diese zu.
Dann beginnt der nächste Rundgang wieder bei Tür 1.
Befehl ist Befehl, sagte sich der Wärter und drehte Runde für Runde. Irgendwann fand er keine Türen mehr, die er schließen musste bzw. durfte, nach der Regel. Es werden alle Gefangen entlassen, die nach beliebig vielen Rundgängen des Wärters in einer offenen Zelle sitzen.
Wie viele Runden muss er mindestens gehen, damit er mit Aufschließen und Zuschließen fertig ist? Wie viele Gefangenen kommen maximal frei, wenn eine Zelle mit je einem Gefangenen belegt ist?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Erster Durchgang: Alle Türen bis auf die Nummer 1 sind offen.
Zweiter Durchgang: Wärter trifft auf die offne Tür 2, die bleibt offen und schließt alle Vielfachen davon.
Dritter Durchgang : Wärter trifft auf die offne Tür 3, die bleibt offen und schließt alle Vielfachen davon, wenn sie geschlossen waren (z.B. 6), dann bleiben sie auch zu.
Vierter Durchgang: Wärter trifft auf die offne Tür 5, die bleibt offen und schließt alle Vielfachen davon, wenn sie geschlossen waren (z.B. 15), dann bleiben sie auch zu.
Fünfter Durchgang: Wärter trifft auf die offne Tür 7, die bleibt offen und schließt alle Vielfachen davon, wenn sie geschlossen waren (z.B. 14), dann bleiben sie auch zu.
Mehr Durchgänge muss er eigentlich nicht mehr machen, denn er träfe nun auf die Tür 11, aber er hat nichts mehr zum Zuschließen, denn alle Vielfachen der 11 (bis zur 100) sind schon zu, diese gilt für alle noch offenen Türen. Es ist leicht zu sehen, dass dies alles Primzahlen sind.
(Die Aufgabe ist also eigentlich nur eine verklausulierte Form des Sieb des Erathotenes.)
Es gibt bis zur 100 genau 25 Primzahlen, also kommen maximal 25 Gefangene frei.

Aufgabe 7

Die Sache mit dem Absurdistan war ja wirklich etwas absurd, meinte Mike. Noch absurder wurde es, als der Köning mit bekam, dass alle seine gefährlichen Gefangenen freigekommen waren. Vor lauter Wut ließ er den armen Wärter einsperren. Dessen Frau rannte zum König und flehte um Gnade. Ihr Mann habe doch nur dem Befehle des Königs gehorcht. Etwas zerknirscht gabe der König der Frau recht - ist eben Absurdistan. Wenn er klug sei, solle er frei kommen. Der König sprach: Ich habe einen Diener und ich weiß nicht, ob er lügt oder die Wahrheit spricht. Wenn dein Mann mit einer einzigen Frage herausbekommt, ob der Mann lügt oder die Wahrheit spricht, dann ist er frei. Na, wenn es weiter nichts ist, da braucht er doch bloß zu fragen, wie viel ist 4 + 5 und merkt an der Antwort woran er ist. Das ist mir klar, sagte der König missmutig. Er soll ihm eine Frage stellen, so dass er in dem Moment, in welchem er die Frage stellt, die Antwort nicht wissen kann und in dem Moment, in welchem er die Antwort hört, noch nicht weiß, ob der Mann gelogen oder die die Wahrheit gesagt hat. Und das geht, fragte die Frau zurück. Das weiß ich nicht, sagte der König, ich weiß aber auch nicht, ob es nicht geht.
Ziemlich verstört ging die Frau zu ihrem Mann und erzählte ihm davon. Es wollte ihnen keine Lösung einfallen. Um sich abzulenken, legte die Frau aus dem mitgebrachten Kartenspiel eine Patience. Plötzlich sahen sich beiden an und ein Blitzen lag in ihren Augen. Die Karten hatten sie gleichzeitig auf eine Idee gebracht. Am nächsten Morgen stellte der Mann die Frage und der König musste ihn freilassen.
Wie konnte es gehen?
Die vollen 6 Punkte gibt es, wenn die Schilderung des Vorgehens auf die Einhaltung der Bedingungen genau eingeht.

Die eingesandten Antworten ähnelten einander sehr, kurz also das Prinzip:
Der Kartenstapel wird gut gemischt und dem Diener wird eine Karte gezeigt, aber so, das der Fragende die Karte nicht sieht. (In dem Moment kennt der Fragende die Antwort also noch nicht, da er ja die Karte nicht kennt.)
Nun wird der Diener gefragt, welche Karte zeige ich dir gerade. (Das ist eine Frage und ob die Antwort richtig ist, weiß der Fragende in dem Moment des Hörens noch nicht.)
Nun schaut sich der Fragende die Karte an und weiß, ob der Diener die Wahrheit gesagt hat oder ob er gelogen hat.

Aufgabe 8

Du siehst, sprach Bernd, Karten legen, kann Leben retten. Sicher in dem speziellen Fall. Aber deswegen ist es trotzdem nicht möglich mit Tarotkarten das Schicksal zu erforschen, auch wenn es noch so viele glauben.
Apropos glauben, als ich die in einer uralten Zeitung entdeckte Aufgabe nachrechnete wollte ich das Ergebnis auch nicht wahrhaben und dachte ich wäre in Absurdistan.
Na mach es nicht so spannend und erzähle sie einfach. Okay.
Eine frische Gurke besteht aus rund 99 Prozent Wasser. Wenn man sie etwa 5 Tage liegen lässt, verändert sich der Wassergehalt und er beträgt nur noch 98 Prozent. Wie schwer ist die Gurke nach 5 Tagen, wenn sie vorher genau 500 Gramm wog?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Wenn man die Lösung sieht wird noch mal deutlich, warum Gurken entweder im Stück oder in Flüssigkeit verkauft werden:
500 g enthalten 5 Gramm (1 Prozent) feste Stoffe. Das Wasser verdunstet, so dass diese 5 Gramm nach 5 Tagen 2 Prozent der Gurkenmasse entsprechen, daraus folgt die Gurke wiegt nur 250 Gramm (5 Gramm fest + 245 Gramm (= 98 Prozent von 250 Gramm) Wasser.

Aufgabe 9

Nach dieser seltsamen Prozentaufgabe ist mir klar, dass ein Händler grüne Gurken nur im Stück verkauft Das wäre ja ein Albtraum. Er würde 20 Kilogramm Gurken beim Großmarkt kaufen und dann wären es kurze Zeit später deutlich weniger. Da hast du vollkommen recht, meinte Mike. Apropos Albtraum, da kommt mir Folgendes in den Sinn:
Ein Trainer K. schaut seiner Mannschaft ohnmächtig beim Verlieren zu. Abends schläft er völlig zerknirscht ein und ein furchtbarer Albtraum stellt sich ein. K. steht einsam in einer Trainingshalle, nur einer der WM-Bälle (als ideale Kugel) liegt irgendwo. Da beginnt der Fußball in die Richtung des Trainers zu rollen. Nun aber wird es es schlimmer, während der Ball mit seinen 22 cm Durchmessern auf ihn zurollt, schrumpft der Trainer immer mehr zusammen, er wird kleiner und kleiner, der Ball kommt immer näher. Da entdeckt K. an der Wand einen Tischtennisball, durch ein winziges Loch kann er sich hineinretten. Allerdings sieht er Schatten des Fußballs noch immer auf sich zukommen. Schweißgebadet wacht er auf.
War K. in seinem Ball (Durchmesser 4 cm) ernsthaft gefährdet, wenn dieser genau im rechten Winkel zwischen Wand und Fußboden lag?
Zu erreichen sind 5 Punkte.
Wie verändert sich die Situation, wenn der Tischtennisball in einer Ecke der Turnhalle liegt?
Auch hier gibt es noch einmal 5 Punkte.

Zur Verdeutlichung der Lösung erst einmal noch ein Bild von Andree: Sehr unterschiedliche Lösungsbeschreibungen gab es, hier die sehr interessante von Andreas Walter (auch wenn es einfachere gab), danke:
Die erste Variante, der Ball liegt genau im rechten Winkel zwischen Wand und Boden.
Zur Lösung vereinfacht man das Problem auf zwei Dimensionen, es wird ein Schnitt durch die Wand, den Boden und die beiden Mittelpunkte der Bälle gelegt. Nimmt man nun den Boden als x-Achse, die Wand als y-Achse, ihren Schnittpunkt als Ursprung, so erhält man ein Koordinatensystem. Zu beachten ist nun, das der Mittelpunkt der Kreisflächen, der gleich der Mittelpunkte der ursprünglichen Kugeln ist, entsprechend aus dem Koordinatenursprung verschoben ist.Die Mittelpunkte haben dann folgende Koordinaten M1=(2,2) und M2=(11,11). Es gilt:
Kleiner Kreis: (x-2)2 + (y-2)2 = 4
Großer Kreis: (x-11) ^2 + (y-11)2 = 121
Zur der Frage ob der größere Kreis den kleineren berürht, vergleicht man z.B. einfach zwei Punkte, die auf der Geraden y=x liegen.
Kleiner Kreis: (x-2)² + (x-2)²= 4 ->
2* (x-2)² = 4
-> (x-2)² =2 ->
x₁=+(2)0,5+2 =3,4142 und x₂=-(2)0,5+2= 0,58 5786. x₂ entfällt, da dies der dem Ursprung zugewandte Punkt ist:
Großer Kreis: (x-11)² + (y-11)² = 121
-> 2*(x-11)² = 121 ->
x₃= 18,7782 und x₄=3,22183.
x₃ entfällt, dieser ist am weitesten vom Ursprung weg.
Der Vergleich der Punkte x₁ > x₄ zeigt, das der große Kreis den kleinen Kreis schneidet.
In der ersten Situation bestand also Gefahr, zumindest, das der Fußball den Tischtennisball berührt. Wie genau diese Berührung dann aussehen würde, ist ein physikalisches Problem.

Aufgabe 10

Wenn man sich die Fußballergebnisse anschaut, so ist vorstellbar, dass nicht nur unser Nationaltrainer K. solch einen Albtraum hat, noch dazu wo die einzige sichere Stelle eine Ecke ist, in die er sich flüchten konnte. Ach höre doch auf, meinte Mike. Wobei der Spruch, Fußball ist das, wo das Runde ins Eckige muss irgendwie auch auf Frage von deinem Opa passt, den habe ich nämlich gestern getroffen. Von dem war lange nichts zu hören, also leg mal los.
In einem riesigen rechtwinkligen Koordinatensystem (Einheit 01 = 1cm) wird ein Kreis eingetragen, der Mittelpunkt sei der Koordinatenursprung. Zwei Punkte des Kreises, vielleicht auch mehr, die positive Koordinaten haben, haben ganzzahlige Koordinaten. Diese Punkte selber haben einen Abstand von genau 174 cm. Wie groß sind der Radius und welche Koordinaten haben die Punkte?
Das klingt nach einer schweren Opa-Aufgabe. Stimmt, das finde ich auch. Hat er nicht noch einen Tipp gegeben. Ja schon, aber nicht freiwillig. Sag schon endlich. Erster Tipp mache dir eine ordentliche Skizze - na toll, mache ich doch immer. Ach ja, die y-Koordinate des oberen Punktes ist um 1 größer als die x-Koordinate des unteren Punktes.
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Eine sehr interessante Lösungsvariante von einem der heimlich mitmacht, danke an H.S.
Also los zur Diophantischen Gleichung zum Lehrsatz des Pythagoras!
Zunächst ist der Abstand der Punkte auf der Peripherie interessant! Länge 174: Also lösen wir a²+b²=174².
174 hat die Teiler 2, 3 und 29. Die ersten beiden sind nett, denn sie liefern einfachste Quadrate, nämlich 0 und 1. Für uns bedeutet das, dass die Summe zweier Quadratzahlen nur dann durch 4 oder durch 3 teilbar sein kann, wenn die Zahlen selbst beide gerade und beide Dreierzahlen sind.
Wir können dann unsere Gleichung durch 36 teilen und suchen A²+B²=29²=841. Da sind schlappe 20 Möglichkeiten drin, das kleinere Quadrat hat weniger als 421. Die einzige Lösung, 20² + 21² = 29² hat die Qualität einer Kopfrechnung.
Mithin ist der Abstand unserer Punkte gegeben durch: 120² + 126² = 174².
Mit den Tipp vom Opa schreiben sich die Koordinaten der Punkte zu (x , ?) und (??, x+1). Die fehlenden Terme bestimmen sich über die beiden gerade bestimmten Seitenlängen zu (x, x+1-120) und (x - 126, x+1).
Für den Radius finden wir:
R² = x² + (x-119)² = (x-126)²+ (x+1)² nebst
2x² -238x -119² = 2x² -250x + 126² + 1 nebst x = 143.
Die Koordinaten der Punkte sind somit (143 | 24) und (17 | 144); der Radius ist 145.

Aufgabe 11

Das war ja wirklich eine Opaaufgabe, die es in sich hatte. Aber irgendwie ging es ja dann doch. Ach ja, die Formulierung hieß doch es gibt zwei oder auch mehr positive ganzahlige Punkte auf diesem Viertelkreis. Es gibt sogar noch mehr, das sind alle Punkte - die bekannten eingeschlossen - (17; 144), (24; 143), (87; 116), (100; 105), (105; 100), (116; 87), (143; 24) und (144; 17).
Was hatte mein Opa gerade gemacht, als du ihn getroffen hattest. Nun er war gerade selber am Knobeln. Auf dem Flohmarkt hatte er eine alte Balkenwaage gekauft. Es gab aber nur ein 50 Gramm Wägestück und ein 200 Gramm Wägestück dazu. Außerdem hatte er noch eine Riesentüte mit Vogelsand erstanden, da waren genau 9 Kilogramm drin. Zwei Kilogramm wollte er seiner Nachbarin geben. Irgendwo hatte er gelesen, dass es zu schaffen sei, mit nur 3 Wiegevorgängen den Vogelsand in 2 bzw. 7 Kilogramm zu teilen. Ob er es geschafft hat, weiß ich nicht, denn ich musste weg.
Für die Beschreibung wie es geht oder den Nachweis, dass es nicht geht, gibt es 3 Punkte.

Der erste Schritt: Der Sand wird so auf beide Wagschalen verteilt, dass gleich viel drauf liegt, dann sind nach vollständiger Verteilung je 4,5 kg auf jeder Wagschale.
2. Schritt: jetzt werden 4,5 kg auf beide Wagschalen komplett verteilt, dass gleich viel drauf liegt, dann sind nach vollständiger Verteilung je 2,25 kg auf jeder Wagschale.
3. Schritt.: Auf eine Wagschale kommen nun die zwei Wägestücke und es werden von den 2,25 kg 250 Gramm entnommen - Es sind dann genau die geforderten 2 kg Vogelsand auf einem Haufen, die Opa der nachbarin geben wollte.

Aufgabe 12

Na, ich denke, Opa hat nicht so lange gebraucht wie du, sondern wusste es doch recht schnell, wie die Wiegerei ging.
Mag ja sein, dafür ist meinem Vater noch eine verblüffende Aufgabe eingefallen als ich ihm von der Aufgabe mit der Gurke erzählt habe. Das Ergebnis ist auch hier echt überraschend, lass hören.
Es wurde eine Testreihe zur Untersuchung von Tieren auf eine seltene Krankheit durchgeführt. Dabei zeigte sich, die Häufigkeit der Erkrankung bei 0,01 Prozent lag. Weiterhin stellte sich heraus, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent der Test ein korrektes Ergebnis zeigt und nur in einem Prozent der Test fehlerhaft ist. Wie hoch ist nun die Chance - die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn ein Tier als krank getestet wird, die Diagnose auch richtig ist? Na weißt du, mit Wahrscheinscheinlichkeitsrechnung habe ich es nicht so. Das macht nichts, wenn du ein Beispiel nur geschickt genug wählst, dann ist die Frage recht leicht zu beantworten.
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Also erst mal genau gelesen, heißt die Frage, wenn ein Tier als krank getestet wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Diagnose falsch ist. (Mit 99 % richtig wird ja suggeriert, die Chance sich zu vertun bei der Diagnose ist sehr klein.)
Nun zu einem Beispiel, günstig ist eine Zahl von Tieren zu nehmen, die durch 10 000 teilbar ist, denn Häufigkeit der Erkrankung lag bei 0,01 Prozent, also 1 von 10 000 Tieren.
Dann nehme ich doch gleich mal die 10 000.
Dann sind 9999 Tiere gesund und 1 Tier krank. Nun werden bei 99 % Wahrscheinlichkeit die gesunden Tiere als gesund mit 1 % Wahrscheinlichkeit als krank getestet, das sind 99,99 also rund 100 Tiere. Nun nehme ich noch den positiven Fall an, dass das kranke Tier auch erkannt wurde. Dann aber ist 1 von 101 Tieren wirklich krank. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Diagnose krank zu sein stimmt liegt bei 1 : 101, also knapp unter 1 %.

Auswertung Serie 12