Serie-12

Aufgabe 4

Die letzte Aufgabe hatte mich erst ein wenig verwirrt, meinte Mike, bis mir der Unterschied zwischen 25 und 25 Prozent auffiel. Außerdem war ich etwas verwirrt, weil da so eine krumme Zahl rauskam, aber es hat ja geklappt.
Aber was ich hier gefunden habe, geht auf keine Kuhhaut. Für welche Zahlen gilt: a² = a²
Was ist denn daran schwierig - ist doch klar, dass gilt für jede Zahl. Ja schon, aber ich habe einen Beweis gesehen und da steht was anderes. Zeig mal her.
a² = a² | - 6a (Wenn man von der irrigen Annahme ausgeht, dass die Behauptung gilt, kann man das sicher abziehen)
- 6a + a² = a² - 6a | + 9
9 - 6a + a² = a² - 6a + 9 (hier sind aber die binomischen Formeln anwendbar)
(3 - a)² = (a - 3)² | Wurzel aus beiden Seiten
3 - a = a - 3 | - a - 3
- 2a = - 6 | :(-2)
a = 3
Du siehst aus a² = a² folgt a = 3
Komisch, aber da muss was falsch sein, aber was?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Hier die sehr ausführliche Antwort von Andreas aus Bautzen, danke:
der Knackpunkt bei der neuen Aufgabe ist, dass beim Umformen von Gleichungssystemen immer nur Operationen verwendet werden dürfen, die in beide Richtungen anwendbar sind. Die angewandte Operation muß umkehrbar sein, will man das Ergebniss nicht verfälschen. Eine Operation, die diese Vorraussetzung erfüllt ist z.B. die Addition. Ihre Umkehrung, die Subtraktion, führt wieder zum ursprünglichen Wert des Gleichungssystems.
Beispiel: x = 3 |+10; x+10 = 13 |-10; x = 3.
Eine Operation, die nicht umkehrbar ist, ist das Quadrieren mit der Umkehrung Wurzelziehen, Beispiel: x = 3 | ^² x² = 9 | Wurzel aus beiden Seiten; ±x = ±3. Es ist nicht mehr feststellbar welchen Wert die Gleichung hatte.
Bei der gestellten Aufgabe bedeutet dies:
a² = a² | - 6a; das ist erlaubt, möglich wäre auch jede andere Operation, z.B. -8a
- 6a + a² = a² - 6a | + 9; auch hier wäre jede andere Operation möglich, z.B. +16
9 - 6a + a² = a² - 6a + 9 | fraglich ist hier die Reihenfolge des Zusammenfassens, eigentlich stehen auf jeder Seite zwei binomische Formeln, so dass es drei Varianten gibt:
(I) (3 - a)² = (3 - a)²;
(II) (a - 3)² = (a - 3)²;
(III) (3 - a)² = (a - 3)².
Hier wurde also der erste Trick angewendet.
(3 - a)² = (a - 3)² | Wurzel aus beiden Seiten, hier ist zu beachten, dass der Wert einer gezogenen Wurzel auch negativ sein kann. Je nach angewandeter Zusammenfassung ergibt sich also:
(I) ±(3 - a) = ±(3 - a);
(II) ±(a - 3) = ±(a - 3);
(III) ±(3 - a) = ±(a - 3).
Aufgelöst ergeben sich folgende Gleichungen:
3 - a = 3 -a => a = 0
-3 + a = 3 - a => a = 3
Dies eine Lösung, nicht eine allgemeine Lösung.
Die Gleichung a² = a² ist für alle reellen Zahlen erfüllt. Je nach Addition eines beliebigen Summanden kann man diese Gleichung zu einer beliebigen binomischen Formel umformen. Nimmt man die Einschränkung einer irreversiblen Operation vor, erhalt man eine Lösung, nicht die allg. Lösung.