Serie-12
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Aufgabe 9
Nach dieser seltsamen Prozentaufgabe ist mir klar, dass ein Händler grüne Gurken nur im Stück verkauft Das wäre ja ein Albtraum. Er würde 20 Kilogramm Gurken beim Großmarkt kaufen und dann wären es kurze Zeit später deutlich weniger. Da hast du vollkommen recht, meinte Mike. Apropos Albtraum, da kommt mir Folgendes in den Sinn:
Ein Trainer K. schaut seiner Mannschaft ohnmächtig beim Verlieren zu. Abends schläft er völlig zerknirscht ein und ein furchtbarer Albtraum stellt sich ein. K. steht einsam in einer Trainingshalle, nur einer der WM-Bälle (als ideale Kugel) liegt irgendwo. Da beginnt der Fußball in die Richtung des Trainers zu rollen. Nun aber wird es es schlimmer, während der Ball mit seinen 22 cm Durchmessern auf ihn zurollt, schrumpft der Trainer immer mehr zusammen, er wird kleiner und kleiner, der Ball kommt immer näher. Da entdeckt K. an der Wand einen Tischtennisball, durch ein winziges Loch kann er sich hineinretten. Allerdings sieht er Schatten des Fußballs noch immer auf sich zukommen. Schweißgebadet wacht er auf.
War K. in seinem Ball (Durchmesser 4 cm) ernsthaft gefährdet, wenn dieser genau im rechten Winkel zwischen Wand und Fußboden lag?
Zu erreichen sind 5 Punkte.
Wie verändert sich die Situation, wenn der Tischtennisball in einer Ecke der Turnhalle liegt?
Auch hier gibt es noch einmal 5 Punkte.
Lösung
Zur Verdeutlichung der Lösung erst einmal noch ein Bild von Andree:
Sehr unterschiedliche Lösungsbeschreibungen gab es, hier die sehr interessante von Andreas Walter (auch wenn es einfachere gab), danke:
Die erste Variante, der Ball liegt genau im rechten Winkel zwischen Wand
und Boden.
Zur Lösung vereinfacht man das Problem auf zwei Dimensionen, es wird ein
Schnitt durch die Wand, den Boden und
die beiden Mittelpunkte der Bälle gelegt. Nimmt man nun den Boden als
x-Achse, die Wand als y-Achse, ihren Schnittpunkt als Ursprung,
so erhält man ein Koordinatensystem. Zu beachten ist nun, das der
Mittelpunkt der Kreisflächen, der gleich der Mittelpunkte der
ursprünglichen Kugeln ist, entsprechend aus dem Koordinatenursprung
verschoben ist.Die Mittelpunkte haben dann folgende Koordinaten M1=(2,2)
und M2=(11,11). Es gilt:
Kleiner Kreis: (x-2)2 + (y-2)2 = 4
Großer Kreis: (x-11) ^2 + (y-11)2 = 121
Zur der Frage ob der größere Kreis den kleineren berürht, vergleicht man
z.B. einfach zwei Punkte,
die auf der Geraden y=x liegen.
Kleiner Kreis: (x-2)² + (x-2)²= 4 ->
2* (x-2)² = 4
-> (x-2)² =2 ->
x1=+(2)0,5+2 =3,4142 und x2=-(2)0,5+2= 0,58 5786.
x2 entfällt, da dies der dem Ursprung zugewandte Punkt ist:
Großer Kreis: (x-11)² + (y-11)² = 121
-> 2*(x-11)² = 121 ->
x3= 18,7782 und x4=3,22183.
x3 entfällt, dieser ist am weitesten vom Ursprung weg.
Der Vergleich der Punkte x1 > x4 zeigt, das der große Kreis den kleinen
Kreis schneidet.
In der ersten Situation bestand also Gefahr, zumindest, das der Fußball den
Tischtennisball berührt. Wie genau diese Berührung dann
aussehen würde, ist ein physikalisches Problem.
Die zweite Variante, der kleine Ball liegt genau in einem Winkel der Halle, läßt sich ähnlich behandeln.
Diesmal hat das Koordinatensystem drei Achsen x,y,z. Die Bälle sind diesmal direkt als Kugeln zu betrachten.
Der Mittelpunkt des kleinen Balles hat dann den Wert M1=(2,2,2), der des großen Balles M2=(11,11,11). Die Formel lautet entsprechend:
Kleiner Kreis: (x-2)² + (y-2)² + (z-2)² = 4
Großer Kreis: (x-11)² + (y-11)² + (z-11)² = 121
Die Extrempunkte liegen diesmal auf der Gerade x=y=z. Der Vergleich ergibt:
Kleine Kugel: (x-2)² + (y-2)² + (z-2)²= 4 ->
3* (x-2)² = 4 ->
(x-2)2 = (4/3) ->
x1=+(4/3)0,5+2 =3,1547 und x2=-(4/3)0,5+2= 0,845299.
x2 entfällt, da dies der dem Ursprung zugewande Punkt ist:
Große Kugel: (x-11)² + (y-11)² + (z-11)² = 121->
3*(x-11)² = 121 ->
x3= 17,3509 und x4=4,64915.
x3 entfällt, dieser ist am weitesten vom Ursprung weg.
Da x1 < x4 ist in diesem Fall keine Gefahr vorhanden.