Serie-12

Aufgabe 10

Wenn man sich die Fußballergebnisse anschaut, so ist vorstellbar, dass nicht nur unser Nationaltrainer K. solch einen Albtraum hat, noch dazu wo die einzige sichere Stelle eine Ecke ist, in die er sich flüchten konnte. Ach höre doch auf, meinte Mike. Wobei der Spruch, Fußball ist das, wo das Runde ins Eckige muss irgendwie auch auf Frage von deinem Opa passt, den habe ich nämlich gestern getroffen. Von dem war lange nichts zu hören, also leg mal los.
In einem riesigen rechtwinkligen Koordinatensystem (Einheit 01 = 1cm) wird ein Kreis eingetragen, der Mittelpunkt sei der Koordinatenursprung. Zwei Punkte des Kreises, vielleicht auch mehr, die positive Koordinaten haben, haben ganzzahlige Koordinaten. Diese Punkte selber haben einen Abstand von genau 174 cm. Wie groß sind der Radius und welche Koordinaten haben die Punkte?
Das klingt nach einer schweren Opa-Aufgabe. Stimmt, das finde ich auch. Hat er nicht noch einen Tipp gegeben. Ja schon, aber nicht freiwillig. Sag schon endlich. Erster Tipp mache dir eine ordentliche Skizze - na toll, mache ich doch immer. Ach ja, die y-Koordinate des oberen Punktes ist um 1 größer als die x-Koordinate des unteren Punktes.
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Eine sehr interessante Lösungsvariante von einem der heimlich mitmacht, danke an H.S.
Also los zur Diophantischen Gleichung zum Lehrsatz des Pythagoras!
Zunächst ist der Abstand der Punkte auf der Peripherie interessant! Länge 174: Also lösen wir a²+b²=174².
174 hat die Teiler 2, 3 und 29. Die ersten beiden sind nett, denn sie liefern einfachste Quadrate, nämlich 0 und 1. Für uns bedeutet das, dass die Summe zweier Quadratzahlen nur dann durch 4 oder durch 3 teilbar sein kann, wenn die Zahlen selbst beide gerade und beide Dreierzahlen sind.
Wir können dann unsere Gleichung durch 36 teilen und suchen A²+B²=29²=841. Da sind schlappe 20 Möglichkeiten drin, das kleinere Quadrat hat weniger als 421. Die einzige Lösung, 20² + 21² = 29² hat die Qualität einer Kopfrechnung.
Mithin ist der Abstand unserer Punkte gegeben durch: 120² + 126² = 174².
Mit den Tipp vom Opa schreiben sich die Koordinaten der Punkte zu (x , ?) und (??, x+1). Die fehlenden Terme bestimmen sich über die beiden gerade bestimmten Seitenlängen zu (x, x+1-120) und (x - 126, x+1).
Für den Radius finden wir:
R² = x² + (x-119)² = (x-126)²+ (x+1)² nebst
2x² -238x -119² = 2x² -250x + 126² + 1 nebst x = 143.
Die Koordinaten der Punkte sind somit (143 | 24) und (17 | 144); der Radius ist 145.