Serie 39

Serie 39

Aufgabe 1

457. Wertungsaufgabe
Logikaufgabe

Lisa und Maria hatten sich mit ihren 5 Freundinnen getroffen und sich richtig ausführlich über deren Freunde informiert. Die Freundinnen heißen Carmen, Sara, Celine, Birte und Bea. Deren Freunde heißen Arne, Dan, Frank, Jochen bzw. Stefan.
In der ersten Runde ging es um die Körpergröße (1,71 m, 1,73 m, 1,82 m, 1,87 m und 1,92 m) und T-Shirts. Die waren blau, grün, grau, orange und schwarz und hatten als Aufdruck: Augen, Hände, einen Hund, einen Mund bzw. Formeln.
1. Der Junge, der 1,71 m groß ist, hat ein blaues T-shirt.
2. Der Junge mit dem grauen T-Shirt ist kleiner als der mit den Formeln auf dem Shirt, aber größer als Stefan.
3. Jochen ist 1,82 m groß und hat keine Formeln auf seinem T-Shirt.
4. Auf dem schwarzen T-Shirt sind Hände zu sehen, es gehört aber nicht Dan.
5. Arnes T-Shirt ist mit Augen bedruckt, aber es ist nicht grau. Er ist weder der größte noch der kleinste der Jungs.
6. Der Junge, der 1,87 m groß ist, hat einen Mund auf dem T-Shirt.
7. Frank hat ein grünes T-Shirt.
Wer hat welches T-Shirt und welche Körpergröße? 6 blaue Punkte
In der zweiten Runde ging es darum, dass die Jungen alle ein neues Hobby haben und natürlich, wer mit wem zusammen ist.
Alte Hobbys waren Boxen, Karate, Klettern, Fußball, und Fechten. Die neuen Hobbys sind Basketball, Federball, Fotografieren, Radfahren und Tischtennis.
1. Der Name der Freundin des Tischtennisspielers ist kürzer als der Name der Freundin des Jungen, der früher Klettern ging. Die Freundin des Kletterers ist nicht Sara.
2. Der jetzt Federball spielt, war früher im Karateverein.
3. Stefan, der mit Celine zusammen ist, fotografiert nicht.
4. Birte ist die Freundin vom Radfahrer, also nicht von Dan, der noch nie Fußball spielte.
5. Jochen spielt jetzt Basketball.
6. Carmens Freund hat früher gefochten.
7. Frank, der geboxt hatte, ist nicht der Freund von Bea.
Wer ist mit wem befreundet? Wer hatte bzw. hat welches Hobby? 6 rote Punkte.

Termin der Abgabe 26.03.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 26.03.2015. Deadline for solution is the 26th.March 2015. Date limite pour la solution 26.03.2015

457 Exercice de logique

Lisa et Maria se sont rencontrés avec leurs 5 copines pour discuter de leurs copains respectifs. Les filles s’appellent Carmen, Sara, Céline, Birte et Bea. Leur copains s’appellent Arne, Dan, Frank, Jochen et Stefan.
En premier, elles parlent de la taille (1,71 m, 1,73 m, 1,82 m, 1,87 m et 1,92 m)et des T-shirts de leur copains. Il y a des T-shirt bleu, vert, gris, orange et noir avec des dessins: des yeux, des mains, un chien, une bouche et des formules.
1. Le garçon de 1,71m porte un T-shirt bleu.
2. Le garçon avec le T-shirt gris est plus petit que celui avec les formules sur le T-shirt mais plus grand que Stefan.
3. Jochen fait 1,82m et n'a pas de formules sur son T-shirt.
4. Il y a des mains sur le T-shirt noir mais celui-la n'appartient pas à Dan.
5. Le T-shirt d'Arne est imprimé avec des yeux, mais n'est pas gris. Il n'est ni le plus grand, ni le plus petit des garçons.
6. Le garçon qui mesure 1,87m porte un T-shirt avec une bouche.
7. Frank porte un T-shirt vert.
Qui porte quel T-shirt est mesure quelle taille ? 6 points bleu
En deuxième, elles parlent des nouveaux hobbies des garçons et bien sûr qui sort avec qui. Les anciens hobbies sont la boxe, le karaté, l'escalade, le foot et l’escrime. Les nouveaux hobbies sont le basket, le badminton,la photographie, le cyclisme et le ping-pong.
1. Le nom de la copine du garçon qui joue au ping-pong est plus court que le nom de la copine du garçon qui anciennement faisait de l'escalade. La copine de l'escaladeur n'est pas Sara.
2. Celui qui joue du badminton aujourd'hui faisait parti du club de karaté avant.
3. Stefan, qui sort avec Céline, n'est pas photographe.
4. Birte est la copine du cycliste, donc pas de Dan qui n'a jamais fait du foot de sa vie.
5. Jochen joue désormais au basket.
6. Le copain de Carmen faisait de l'escrime avant.
7. Frank, ancien boxeur, n'est pas le copain de Bea.
Qui sort avec qui ? Qui avait quel hobby, respectivement qui a quel hobby aujourd'hui ? 6 points rouges

Logic puzzle Lisa and Maria were sitting together with five friends and found out a lot of information about a number of acquaintances of the five. Lisa and Maria's friends are Carmen, Sara, Celine, Birte and Bea. Their friends in turn are Arne, Dan, Frank, Jochen and Stefan.
First they were discussing how tall everyone was (1,71 m, 1,73 m, 1,82 m, 1,87 m und 1,92 m) and their T-shirts. These shirts were blue, green, grey, orange and black and featured prints of eyes, hands, a dog, a mouth and formulas.
1. The boy who is 1,71m wears a blue T-shirt.
2. The boy wearing the grey T-shirt is smaller than the one whose T-shirt shows formulas, but taller than Stefan.
3. Jochen is 1,82m tall and his T-shirt doesn't show formulas.
4. There are hands printed on the black T-shirt which doesn't belong to Dan.
5. Arne's T-shirt shows a pair of eyes, but isn't grey. Arne is neither zhe tallest nor the smallest boy.
6. The boy who is 1,87m is wearing a T-shirt with a mouth.
7. Frank is wearing a green T-shirt. Who has got which shirt and what size? - 6 blue points
After that they were talking about everone's new hobbies and, naturally, who is a couple. Their previous hobbies included boxing, karate, climbing, soccer and fencing. Their new hobbies are basketball, badminton, photography, cycling and table tennis.
1. The name of the table tennis player's girlfriend is shorter than the name of the boy who previously was into climbing. The climber's girlfriend is not Sara.
2. The badminton player used to do karate.
3. Stefan, who goes out with Celine, isn't a photographer.
4. Birte is the cyclist's girlfriend, but not Dan's, who has never played soccer.
5 Jochen plays basketball now.
6. Carmen's boyfriend used to do fencing.
7. Frank, who used to be a boxer, is not Bea's boyfriend. Who is friend of who? Who had and has which hobby? - 6 red points

Problema di logica
Lisa e Maria si erano incontrate con le loro 5 amiche per informarsi ampiamente sui loro amici.
Le amiche si chiamano Carmen, Sara, Celine, Birte e Bea. I loro amici si chiamano Arne, Dan, Frank, Jochen e Stefan.
Per prima cosa si è parlato sulla grandezza (1,71m, 1,73m, 1,82m, 1,87m e 1,92m.) e T-Shirt. Questi erano blu, verde, grigio, arancione e nero e avevano come stampo: occhi, mani, un cane, una bocca e delle formule.

1. Il ragazzo che è alto 1,71m ha una T-Shirt blu.
2. Il ragazzo con la T-Shirt grigia è più piccolo di colui che le formule stampate sulla T-Shirt ma è più grande die Stefan.
3. Jochen è alto 1,82m e non ha le formule stampate sulla T-Shirt.
4. Sulla T-Shirt nera si vedono le mani ma non è di Dan.
5. Sulla T-Shirt di Arne sono stampati gli occhi, ma non è grigia. Lui non è ne il più grande ne il più piccolo dei ragazzi maschili.
6. Il ragazzo che è alto 1,87m ha una bocca sulla T-Shirt.
7. Frank ha una T-Shirt verde.

Chi ha quale T-Shirt e che altezza? 6 punti blu.

Come seconda cosa si è parlato sugli nuovi Hobby dei ragazzi e certamente su chi sta insieme a chi.
Vecchi Hobby erano pugilato, karatè, arrampicata, calcio e la scherma. I nuovi Hobby sono pallacanestro, badminton, scattare foto, ciclismo e tennis da tavolo.

1. Il nome della ragazza del giocatore di tennis da tavolo è più corto del nome della ragazza che sta insieme al ragazzo che prima faceva l´arrampicata. La ragazza dell´arrampicatore non è Sara.
2. Colui che ora gioca a badminton prima stava in una squadra di karatè.
3. Stefan, che sta insieme a Celine, non scatta le foto.
4. Birte è la ragazza del ciclista, quindi non di Dan, che non ha mai giocato a calcio.
5. Jochen ora gioca a pallacanestro.
6. Il ragazzo di Carmen una volta faceva la scherma.
7. Frank, che faceva il pugilato, non è il ragazzo di Bea.

Chi sta insieme a chi? Chi aveva quale Hobby e chi ha ora quale Hobby? 6 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Viele Teilnehmer haben eine "fertige" Lösung, aber keinen Weg geschickt. Es gab auch einige Varianten im Sinne des Logiktrainer-Gitter.
Hier die Variante von von Linus, danke --> als pdf <--

Aufgabe 2

458. Wertungsaufgabe

„Hallo Mike, willst du das Dreieck zerschneiden?“, fragte Bernd. „Eigentlich nicht, nur konstruieren.“
Mike hat bei einem beliebigen Dreieck ABC die Mittelpunkte D, E, F der Seiten konstruiert. Anschließend hat er die Mittelpunkte verbunden. Es gibt nun ein Dreieck DEF und noch drei Dreiecke, die jeweils aus zwei der Mittelpunkte und einem Eckpunkt des Dreiecks ABC gebildet werden.
Konstruktionsbeschreibung der Figur, 3 blaue Punkte, Beweise, dass die vier Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben (oder auch nicht), noch mal vier blaue Punkte.
Für 5 rote Punkte ist zu zeigen, dass die 4 Seitenmittelpunkte eines jeden konvexen Vierecks die Eckpunkte eines Parallelogramms sind.

Termin der Abgabe 16.04.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 16.04.2015. Deadline for solution is the 16th. April 2015. Date limite pour la solution 16.04.2015.

“Hi Mike, do you want to cut up the triangle?”, Bernd asked.
“Not really, I actually want to construct it.”
In a general triangle ABC Mike has constructed the centres D, E, F of the edges. Then he has connected these centres. Now there is triangle DEF and three more triangles whose vertices are two centres and one vertex of triangle ABC each.
Describe how such a shape can be constructed – 3 blue points
Show that the four triangles cover the same area (or don't) – another 4 blue points
5 red points for showing that the four centres of any convex quadrilateral form the vertices of a Parallelogram.

« Salut Mike, veux-tu découper le triangle ? », demanda Bernd. « Pas vraiment, seulement le construire ».
Mike a construit le points centraux D, E, F sur des lignes du triangle ABC. Puis il a rejoint les centres. Il existe maintenant un triangle DEF et trois triangles, formés chacun de deux des centres et un sommet du triangle ABC.
Description structurale de la figure, trois points bleus, la preuve que les quatre triangles ont la même surface (ou non), quatre points bleus supplémentaires.
Pour cinq points rouges, il faut démontrer que les quatre points médians de chaque quadrilatère convexe sont les sommets d'un parallélogramme.

Ciao Mike, che vuoi tagliare il triangolo?”, chiese Bernd. “In realtà no, solamente lo volevo costruire.”
Mike ha costruito ad un triangolo qualunque ABC i punti centrali D,E,F dei lati. In seguito a ciò ha collegato i punti centrali. Ora ci sta’ un triangolo DEF e tre altri triangoli che vengono formati ciascuno di loro da due dei punti centrali ed un punto angolare del triangolo ABC.
Descrizione della costruzione della figura, 3 punti blu. Prova, che i quattro triangoli hanno la stessa superficie (oppure anche no), altri quattro punti blu.
Per 5 punti rossi bisogna dimostrare che i quattro punti centrali dei lati di ciascun quadrangolo convesso sono punti angolari di un parallelogramma.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Lösung (leicht modifiziert) von Hans, danke:

Konstruktionsbeschreibung für das Dreieck ABC: von jeder Dreiecksseite wird die Streckensymmetrale konstruiert, um die Halbierungspunkte jeder Seite zu erhalten.
(Konstruktion von D. Jeweils Kreisbogen um A bzw. B mit r größer als die Hälfte von AB. Die Schnittpunkte der Kreisbögen mittels Gerade verbinden. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit AB ist der gesuchte Punkt D.)
Beschriftung: D = Halbierungspunkt der Seite AB, E = Halbierungspunkt der Seite BC. F = Halbierungspunkt der Seite AC. Somit erhält man die folgenden vier Teildreiecke: ADF, DBE, FEC, DEF. Wendet man in dieser Figur den 1. Strahlensatz vom Eckpunkt A aus an, so gilt:
AD : AB = AF : AC = 1 : 2 (mit AD etc. sind die Längen der entsprechenden Abschnitte gemeint). Daraus ergibt sich, dass DF und BC die parallelen Abschnitte sein müssen und es gilt: DF : BC = 1 : 2 (2. Strahlensatz).
Analog kann man den Strahlensatz von den anderen Eckpunkten B und C aus anwenden. Insgesamt erhält man dann: Die Seiten des Dreiecks DEF sind jeweils parallel zu einer Seite des Dreiecks ABC und halb so lang wie jene, ferner hat das Dreick DEF die gleichen Innenwinkel wie das Dreieck ABC. Somit ergibt sich für die anderen drei Teildreiecke: Die Seiten sind ebenfalls halb so lang wie die Seiten des Dreiecks ABC und ihre Innenwinkel stimmen ebenfalls mit den Innenwinkeln des Dreiecks ABC überein. Auf Grund der Kongruenzsätze für Dreiecke sind die vier Teildreiecke kongruent, sie haben also den gleichen Flächeninhalt. Dieser beträgt ein Viertel des Flächeninhalts des Dreiecks ABC. (Die Gleichheit der vier Flächeninhalte folgt auch unter Anwendung der trigonometrischen Flächeninhaltsformel.) Konvexes Viereck ABCD, E = Halbierungspunkt von AB, F = Halbierungspunkt von BC, G = Halbierungspunkt von CD, H = Halbierungspunkt von AD. Der Beweis lässt sich sehr einfach mit Hilfe von Vektoren führen.( Zur Vereinfachung der Bezeichnung soll im Folgenden X_Y der Vektor von X nach Y sein.)
Folgende drei Vektoren gibt man vor, um das Viereck aufspannen zu können: A_B, B_C, C_D.
Daraus ergeben sich folgende Vektorbeziehungen:
1. A_D = A_B + B_C + C_D
2. E_H = -1/2*A_B + 1/2*A_D = -1/2*A_B + 1/2*(A_B + B_C + C_D) = 1/2*B_C + 1/2*C_D
3. F_G = 1/2*B_C + 1/2*C_D
Aus 2. und 3. folgt: E_H = F_G, sie sind also gleich lang und parallel.
4. E_F = 1/2*A_B + 1/2*B_C
5. H_G = 1/2*A_D - 1/2*C_D = 1/2*(A_B + B_C + C_D) - 1/2*C_D = 1/2*A_B + 1/2*B_C
Aus 4. und 5. folgt: E_F = H_G, sie sind also ebenfalls gleich lang und parallel.
Damit ist gezeigt, dass die Punkte E, F, G und H ein Parallelogramm aufspannen.

Aufgabe 3

459. Wertungsaufgabe

„Hallo Lisa, bastelst du mit deinem Mathematikkurs wieder mal Pyramiden?“, fragte Mike, als er in Lisas Zimmer kam. „Stimmt. Es sollen gerade quadratische Pyramiden werden. Ich habe die Maße für die Pyramide (Grundkante, Höhe) so gewählt, dass die Grundfläche 144 cm² groß wird und das Volumen 540 cm³ beträgt.“ „Verstehe.“
Wie groß sind die Abmessungen der Pyramide? 3 blaue Punkte.
Wie groß wären die Abmessungen der Pyramide, wenn das Volumen 540 cm³ und die gesamte Oberfläche 144 cm³ groß wären? Formel herleiten + exakte Lösung oder gute Näherungslösung 7 rote Punkte

Termin der Abgabe 23.04.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 23.04.2015. Deadline for solution is the 23th. April 2015. Date limite pour la solution 23.04.2015.

en

“Hi Lisa, are you making pyramids again in you maths club?”, Mike asked as he entered Maria's room.
“Indeed. They are supposed to be square pyramids. I chose the measurements (base sides, height) in a way that the base area is 144 cm² and the volumes is 540 cm³.”
“Right.”
What are the measurements of the pyramid? - 3 blue points.
What would be the measurements of the pyramid if the volume was 540 cm³ and the total surface are 144 cm³? - derive an equation + exact solution or good approximation – 7 red points

frz

"Salut Lisa, tu bricole avec ta classe de mathématiques des nouveau pyramides?" Mike demande à Lisa en rentrant dans sa chambre. «C’est ça. Des pyramides carrées parfaites. J’ai choisi les dimensions de la pyramide (bord de base, hauteur) d’une telle sorte que la superficie de la base est de 144 cm² et le volume est de 540 cm³. "
" Je vois. "
Quelles sont les dimensions de la pyramide? 3 points bleus.
Quelles sont les dimensions de la pyramide si le volume serait de 540 cm³ et la superficie totale de 144 cm³ ? Formule dérivée + solution exacte ou une très bonne solution approximative 7 points rouges

“Ciao Lisa, che stai costruendo con il tuo corso di matematica di nuovo delle piramidi?”, chiese Mike quando entrò nella camera di Lisa. “È vero. Devono essere piramidi diritte e quadrate. Ho scelto le misure per la piramide (bordo di base, altezza) a tal modo, che la base sarà grande 144 cm² e il volume 540 cm³.” “Capisco.”
Quanto sono grandi le dimensioni della piramide? 3 punti blu.
Quanto grandi sarebbero le dimensioni della piramide, se il volume fosse grande 540 cm³ e la intera superficie 144 cm³? Fare risalire la formula + soluzione esatta oppure una buona soluzione approssimativa. 7 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

blau: Die Grundfläche ist 144 cm² groß und ein Quadrat, also ist dessen Kantenlänge 12 cm. Die Höhe der Pyramide ergibt sich aus {tex} h = \frac{3 V}{A_g}{/tex} und beträgt 11,25 cm.
rot: Obwohl aus Grundfläche "nur" Oberfläche wird, so ist doch die Rechnung deutlich anders, wobei sich herausstellt, dass zu den gegebenen Werten keine Pyramide existiert.
Es gab verschiedene Lösungsansätze. Ganz originell die Übertragung des Problems auf eine Kugel und daraus abgeleitet, dass es keine solche Pyramide geben kann. Die  Formeln einer quadratischen Pyramide : {tex}V= \frac {1}{3}a^2 h\\{h_a}^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}\\ A_O = a^2 + 2 a h_a{/tex}
lassen sich nach a,  h oder h_a umstellen und untersuchen. Die Untersuchung von Linus nutzt Umstellung und Tabellenkalkulation, danke -->pdf <--

Aufgabe 4

460. Wertungsaufgabe

„Hallo Maria. Was machst du mit dem grünen und dem roten Quadrat?“, fragte Bernd seine Schwester. „Das soll mal eine Vorlage für ein geometrisches Muster werden. Dazu schiebe ich das rote Quadrat entlang der Diagonalen über das grüne Quadrat und zwar soweit, dass die Überdeckung, der rote Rest und der grüne Rest alle den gleichen Flächeninhalt haben.“
Wie weit sind die Mittelpunkte des grünen und roten Quadrates von einander entfernt, wenn Maria ihre Überdeckung erreicht hat? Das grüne und das rote Quadrat sollen je eine Kantenlänge von 10 cm haben. - 5 blaue Punkte.
Acht rote Punkte gibt es, wenn die Aufgabenstellung für zwei Kreise – rot bzw. grün – gelöst wird. (r jeweils 10 cm)

Termin der Abgabe 30.04.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 30.04.2015. Deadline for solution is the 30th. April 2015. Date limite pour la solution 30.04.2015.

“Maria, what are you doing with the red and the green square?”, Bernd asked his sister.
“This is going to be a template for a geometrical pattern. To achieve this I'll simply move the red square along the diagonal across the green square just as far so the ovelap, the remaining red part and the green part have the same area.”
What's the distance between the center points of the red and and the green square when Maria has found the right amount of overlap? Let the green and the red square be 10 cm each. - 5 blue points
There'll be 8 red points for solving the problem with two circles – red and green (r=10 cm both)

/frz/it

"Bonjour Maria. Que fais-tu avec les carrés vert et rouge? ", demanda Bernd à sa sœur. "Cela devrait être un modèle pour une forme géométrique. A cet effet, je pousse le carré rouge au long de la diagonale sur le carré vert jusqu’à ce que les zones rouge et vert qui restes ont la même taille."
Quelle est la distance entre les deux points du centre du carré rouge et du carré vert lorsque Maria a atteint sa couverture ? Chaque carré a une longueur de 10 cm. - 5 points bleus.
Huit points rouges pour la solution de deux cercles rouge et vert. (c = 10 cm)

La traduzione italiana sarà di nuovo disponibile dal mese di settembre.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Hier die Lösungsvariante von Calvin, danke --> pdf <--

Aufgabe 5

461. Wertungsaufgabe

„Du hast aber viele gleichgroße Quadrate ausgeschnitten“, sagte Bernd zu seiner Schwester. „Es sind genau 84“, erwiderte Maria. „Ich benutze alle Quadrate, um daraus Rechtecke zu legen. Dabei soll es immer auch Quadrate geben, die nicht am Rand eines solchen Rechtecks liegen.“ Maria fertigt von jeder Variante ein Foto an, dann legt sie die Quadrate zu einem neuen Rechteck zusammen. Wie viele Fotos kann Maria anfertigen und wie viele Randsteine haben die jeweiligen Rechtecke? Pro Lösung gibt es zwei blaue Punkte (Länge und Breite vertauscht zählt nicht als verschieden)
„Ich frage mich gerade, ob du auch Rechtecke legen kannst, bei denen die Zahl der Quadrate am Rand genau so groß ist wie im Inneren des gelegten Rechtecks? Du musst nicht alle 84 Quadrate verwenden.“ Pro Lösung gibt es drei rote Punkte (Länge und Breite vertauscht zählt nicht als verschieden). Sollte der Nachweis gelingen, dass es keine solche Möglichkeit gibt, werden natürlich auch rote Punkte vergeben.

Termin der Abgabe 21.05.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 21.05.2015. Deadline for solution is the 21th. May 2015. Date limite pour la solution 21.05.2015.

"You've cut out a lot of equal sqares, haven't you", Bernd told his sister.
"They are exactly 84", Maria replied. "I use all of them to lay out rectangles. There should always be squares that are not part of the side of the rectangle."
Maria takes a picture of each variant before she creates another rectangle. How many photos can she take and how many squares do the sides of each rectangle have? Two blue points for each solution (length and width swapped doesn't make a new variant).
"I'm asking myself if it's possible to make rectangles whose sides consist of as many squares as there are inside? You may use less than the 84 squares." Three red points for each solution (length and width swapped doesn't make a new variant). There will be red points in case it can be proved that there are no such rectangles.

it La traduzione italiana sarà di nuovo disponibile dal mese di settembre.

"Mais tu as découpées beaucoup de carrés égaux», a déclaré Bernd à sa sœur. "Il y a exactement 84", réponds Maria. «J’utilise tous les carrés pour en faire des rectangles. Il doit toujours y avoir des carrés qui ne se trouvent pas sur le bord d'un rectangle. » Maria prends une photo de chaque variante, ensuite elle construit un nouveau rectangle avec les carrés. Combien de photos différentes peut-elle prendre, et combien de bordures ont les rectangles respectifs? Deux points bleus par solution. (Inverser la longueur et le largueur ne compte pas comme différent.)
"Je me demande si tu peux construire des rectangles d’une telle manière que le nombre de carrés touchant l’extérieur du rectangle et le même que le nombre de carrés à l’intérieure du rectangle. Tu ne pas obliger d’utiliser les 84 carrés.
3 points rouges par solution (Inverser la longueur et le largueur ne compte pas comme différent.). Si nous parvenons à prouver qu'il n'y a pas une telle possibilité, bien sûr, les points rouges sont attribués.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Die Lösung von Paulchen, danke: --> als pdf <--

Aufgabe 6

462. Wertungsaufgabe

„Konstruierst du Buchstaben?“, fragte Bernd. „Das kann man so sagen“, meinte seine Schwester Maria. „Hier siehst du meine ersten Versuche.“

Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt der Buchstaben? Für das F gibt es 4 blaue Punkte, für das S gibt es 4 rote Punkte. Die Einheit im Koordinatensystem soll 1 cm groß sein.

“Are you constructing letters?”, Bernd asked.
“As a matter of fact I do”, his sister Maria replied. “Here are my first attempts.”

What are the perimeter and area of these letters? - 4 blue points for F and 4 red points for S. The unit of the coordinate system is 1 cm.

Termin der Abgabe 28.05.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 28.05.2015. Deadline for solution is the 28th. May 2015.Date limite pour la solution 28.05.2015.
frz/

«Tu construis des lettres ? », demande Bernd. «Mais oui», réponds sa sœur Maria. «Voici mes premiers essais».

Quel est le périmètre des lettres et quel est l’aire? 4 points bleus pour le F et 4 points rouges pour le S.   L'unité dans le système de coordonnées est de 1 cm.
it: La traduzione italiana sarà di nuovo disponibile dal mese di settembre.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Hier die Lösungen von Felix H., danke --> als pdf <--

Aufgabe 7

463. Wertungsaufgabe

„Hast du eine neue Uhr?“, fragte Mike. „Nein, das die Digitaluhr von meinem Opa“, erwiderte Bernd. „Es gibt zwei Ziffern für die Stunden und zwei Ziffern für die Minuten. Es ist eine Anzeige von 00:01 bis 24:00, die erste Null kann man auch ausschalten.“
4 blaue Punkte gibt es für das Notieren aller Uhrzeiten – ohne die erste Null – die die Ziffern 0, 1, 2 und 3 enthalten – keine der Ziffern soll doppelt vorkommen.
4 rote Punkte für die Ermittlung der Ziffer, die im Verlaufe eines Tages am wenigsten vorkommt.

Termin der Abgabe 04.06.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 04.06.2015. Deadline for solution is the 04th. June 2015.Date limite pour la solution 04.06.2015.

“Have you got a new watch?”, Mike asked.
“No, I haven't. It's my granddad's digital watch”, Bernd replied. “There are two digits for the hours and two for the minutes. It's a display from 00:01 to 24:00. It's possible to switch off the leading zero.”
4 blue points for finding all times – without the leading zero – thatz contain the digits 0, 1, 2 and 3. None of the digits should be used more than once.
4 red points for finding the digit that is used least over the course of a day.

frz
"T’as une nouvelle horloge?" demande Mike. "Non, c’est l'horloge numérique de mon grand-père», a déclaré Bernd. "Il y a deux chiffres pour l'heure et deux chiffres pour les minutes. L’affichage est de 00 :01 à 24 :00 et on peut désactiver le premier zéro".
4 points bleus pour noter tous les horaires – sans le premier zéro – qui contiennent les chiffres 0, 1, 2 et 3 - aucun des chiffres ne peut être en double.
4 points rouges pour déterminer le chiffre qu’on voit le moins dans la journée.

it: La traduzione italiana sarà di nuovo disponibile dal mese di settembre.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Hier die Lösung von Paulchen Hunter, danke --> als pdf <--

Aufgabe 8

464. Wertungsaufgabe

„Schau mal ich habe ein regelmäßiges 10 – Eck konstruiert. Das hat immerhin 35 Diagonalen. Bei einem 5-Eck sind es 5 Diagonalen.“ meinte Maria. „Ich habe gesehen im Mathematiklexikon auf der Homepage kann man sich die Anzahl der Diagonalen ausrechnen lassen.“, sagte Bernd. „Stimmt, die Seite habe ich auch schon mal genutzt“, erwiderte Maria.
Die Anzahl der Diagonalen auszurechnen, ist also kein Problem. Die Diagonalen in einem regelmäßigen n-Eck (n>6) sind nicht alle gleich lang. In einem Sechseck gibt es zwei  unterschiedliche Längen. Wie viele unterschiedliche Längen sind es in dem regelmäßigen Zehneck bzw. sind es in einem beliebigen regelmäßigen n-Eck. (n>6) 2 + 3 blaue Punkte.
Wie lang sind die Diagonalen in einem regelmäßigen Siebeneck, wenn die Kantenlänge des Siebenecks 1 cm groß ist? Für die Berechnung (samt Herleitung) gibt es 7 rote Punkte.
Termin der Abgabe 11.06.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 11.06.2015. Deadline for solution is the 11th. June 2015. Date limite pour la solution 11.06.2015.

“Look, i've constructed a regular decagon. Mind you, it's got 35 diagonals. There are 5 diagonals in a pentagon”, Maria remarked.
“I've noticed that in the maths encyclopedia of our homepage you can have the number of diagonals calculated”, Bernd said.
“True, I've used that already”, Maria replied.
Hence it's not a problem to calculate the number of diagonals. The diagonals in a regular n-gon (n>6) are not all of equal length. There are two different lengths in a hexagon. How many different lengths are there in a regular decagon and how many in a regular n-gon (n>6) – 2 + 3 blue points.
How long are the diagonals in a regular heptagon whose edges are 1 cm? There are 7 red points to be had for calculation (including explanation).

„Regarde, j’ai construit un décagone régulier. Il y a 35 diagonales. Un pentagone a 5 diagonales“, penses Maria. „J’ai vu sur la page d’accueil d’un site de mathématique qu’on puisse se faire calculer le nombre de diagonales“, dit Bernd. « C’est vrai, j’ai déjà utilisée cette page », répond Maria.
Ce n’est donc pas un problème de calculer le nombre de diagonales. Les diagonales dans un n-gone (n>6) ont une longueur différentes. Il y a deux longueurs différentes dans un hexagone. Combien de longueurs différentes peut-on trouver dans un décagone régulier et combien dans un n-gone régulier (n>6) ? 2+3 points bleus.
Quelle est la longueur des diagonales dans un heptagone régulier si la longueur des cotes de l’heptagone est de 1 cm ? 7 points pour le calcul avec la solution.

it: La traduzione italiana sarà di nuovo disponibile dal mese di settembre.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Lösung von Hans (Amstetten), danke.

Aufgabe 9

465. Wertungsaufgabe

„Sag mal Mike, es gibt doch die Quadratzahlen, also z. B. 25, weil 5 * 5 =25 ist. Ich frage mich gerade, gibt es auch Rechteckzahlen?“, grübelte Bernd. „Na ich sage mal so, echte Rechteckzahlen sind dann einfach natürliche Zahlen, die sich nur so in zwei Faktoren zerlegen lassen, die nicht gleich sind.“ „Cool, dann erfinde ich mal noch die unechten Rechteckzahlen.“ „Wie das?“ Na ja Zahlen, die zwar Quadratzahlen sind, sicher aber auch in zwei ungleiche Faktoren (ungleich 1) zerlegen lassen.“ „Verstehe“.“
Finde alle unechten Rechteckzahlen, die kleiner sind als 100 (Begründe deine Entscheidung) 4 blaue Punkte.
Für die Zauberzahl x gelte x² = x+1. Es ist passend für x³, x^4, x^5, x^6 jeweils eine Linearzerlegung zu finden. x^n = mx +n. 6 rote Punkte und staunen.
Termin der Abgabe 18.06.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.06.2015. Deadline for solution is the 18th. June 2015. Date limite pour la solution 18.06.2015.

“Mike, there are square numbers, right? Like, for example 25, because 5x5=25. What I'm asking myself is whether there are rectangle numbers, too?”, Bernd mused.
“Ok, then I'll simply state that a proper rectangular numbers are simply integers that can only be factorized into two different factors.”
“Cool, then let me propose improper rectangular numbers.”
“What are these supposed to be?”
“Well, numbers which are square, but can also be factorized into two different factors.”
“I see.”
Fin all improper rectangular numbers smaller than 100 (give reasons for your choice.) - 4 blue points
For a magic number x let x² = x+1. Find a linear factorization for x³, x⁴, x⁵, x⁶ accordingly. x^n = mx +n. - 6 red points and astonishment

Dis Mike, il y a des nombres aux carrés, par exemple 25, car 5 * 5 = 25. Est-ce qu’il existe des nombres aux rectangles ? », se demande Bernd. « Ben, des véritables nombres aux rectangles sont des chiffres qui peuvent se diviser uniquement en deux facteurs qui ne sont pas égaux. » « Comment ça ? » Eh bien, des nombres aux carrés qui peuvent sûrement se diviser en deux facteurs inégaux (inégal à 1). » « Je comprends ».
Trouvez tous les nombres aux carrés faux, qui sont plus petit que 100 (Expliquez votre solution) 4 points bleues
Pour le chiffre magique x est valable x² = x+1. Faut trouver une solution linéaire également valable pour x^3, x^4, x^5, x^6. X^n=mx + n. Étonnementest 6 points rouges.

it: La traduzione italiana sarà di nuovo disponibile dal mese di settembre.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Superlösung von Paulchen Hunter, danke --> als pdf <--

Aufgabe 10

466. Wertungsaufgabe

„Das sieht aus wie ein gleichseitiges Dreieck und ein regelmäßiges Fünfeck“, sagte Bernd zu Maria.
„Das ist auch so. Das Dreieck ABC hat eine Kantenlänge von 10 cm und das Fünfeck DEFGH hat eine Kantenlänge von 5 cm.“, erwiderte Maria.
Von A nach D sind es 2,5 cm. Berechne die die Größe der Winkel am Punkt S – 4 blaue Punkte.
Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks ADS – 4 rote Punkte

Termin der Abgabe 25.06.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 25.06.2015. Deadline for solution is the 25th. June 2015. Date limite pour la solution 25.06.2015.

En:

"This looks like an equilateral triangel and a regular pentagon”, Bernd said to Maria.

“That's exactly what it is. The sides of the triangle are 10 cm and the sides of the pentagon DEFGH are 5 cm each”, Maria replied.
The distance between A and D is 2.5 cm. Calculate the angle at point S – 4 blue points.
What is the area of the triangle ADS? – 4 red points.

„Cela ressemble à un triangle équilatéral et un pentagone régulier », a dit Bernd à Maria. Voir image:

« C'est vrai. Le triangle ABC a une longueur d'arête de 10 cm et le pentagone DEFGH a une longueur d'arête de 5 cm », répond Maria. AD = 2,5cm. Calculer l’angle S pour 4 points bleus.
Calculer l’aire du triangle ADS pour 4 points rouges.

it: La traduzione italiana sarà di nuovo disponibile dal mese di settembre.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier die Lösung von Linus, danke --> als pdf <--

Aufgabe 11

467. Wertungsaufgabe

„Die Figur aus der letzten vorherigen Aufgabe hat mir auch sehr gefallen“, sagte Mike. „Ich erinnere mich. Das Dreieck ABC hatte eine Kantenlänge von 10 cm und das Fünfeck DEFGH hatte eine Kantenlänge von 5 cm.“
Mit Hilfe einer Formelsammlung ist es nicht schwer, die Flächeninhalte des grünen Dreiecks und des roten Fünfecks zu berechnen – 4 blaue Punkte.

Wie groß müsste die Kantenlänge des Fünfecks gewählt werden, damit der Punkt G mit dem Punkt C übereinstimmt? - 4 rote Punkte. Weitere 4 rote Punkte gibt es für die Kantenlänge eines regelmäßigen Fünfecks, wenn die Punkte D, E, F und H alle auf den Seiten des Dreiecks liegen.

Termin der Abgabe 03.09.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 03.09.2015. Deadline for solution is the 3th. September 2015. Date limite pour la solution 03.09.2015.

en:

“I really liked the figure from last week's problem, too”,Mike said. “I remember: The sides of the triangle ABC were 10 cm and the sides of the pentagon DEFGH were 5 cm each.”

Using a formulary it should be easy to calculate the areas of the green triangle and the red pentagon. - 4 blue points.
How long would the sides of the pentagon have to be so that point G was identical to point C? - 4 red points
4 more red points for providing the side's length of a regular pentagon whose vertices D,E,F and H are part of the sides of the triangle.

« La figure de la semaine dernière m’ai beaucoup plu », dit Mike. « Je me rappel. Le triangle ABC a une longueur d'arête de 10 cm et le pentagone DEFGH a une longueur d'arête de 5 cm ».
Avec l’aide d’une collection de formules, ce n’est pas difficile de calculer l’aire du triangle vert, ainsi que l’aire du pentagone rouge pour 4 points bleus. Quel doit être la longueur d’arête du pentagone pour que le point G corresponde avec le point ? – 4 points rouges. Encore 4 points supplémentaires pour la longueur d’arête du pentagone régulier si les points D, E, F et H se trouvent sur les côtés du triangle.

it: “La figura dell´esercizio precedente mi era piaciuta molto” disse Mike. “Mi ricordo bene. Il triangolo ABC aveva una lunghezza degli spigoli di 10 cm ed il pentagono DEFGH una lunghezza degli spigoli di 5 cm.”
Con l´aiuto di un formulario non è difficile calcolare l´area del triangolo verde e del pentagono rosso. – 4 punti blu.
Quale grandezza si dovrebbe scegliere per la lunghezza degli spigoli del pentagono per fare corrispondere il punto G con il punto C? – 4 punti rossi. Per la lunghezza degli spigoli di un pentagono regolare vengono assegnati successivamente altri 4 punti rossi, se i punti D,E,E ed H si trovano tutti quanti sui lati del triangolo.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier die Lösung von Linus, danke. --> als pdf <--

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Aufgabe 12

468. Wertungsaufgabe

„Du hast aber eine lange Papierrolle“, sagte Lisa. Mike erwiderte: „Da hast du Recht. Aber du kannst ausrechnen wie lang die ist. Ich teile sie in zwei gleichlange Teile. Die eine Hälfte zerteile ich in 4 gleiche Stücke (Länge a). Die andere Hälfte teile ich in drei gleiche Stücke (Länge b). Der Unterschied zwischen a und b beträgt dann 7 cm.“ Wie lang war die Papierrolle vor dem Zerschneiden? - 3 blaue Punkte.
Wie errechnet sich die Länge einer solchen Papierrolle, wenn der Unterschied zwischen einem kurzen und einem langen Stück d cm beträgt und die Anzahl der kurzen Stücke um 1 größer ist als die Anzahl der langen Stücke? 3 rote Punkte
Termin der Abgabe 10.09.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 10.09.2015. Deadline for solution is the 10th. September 2015. Date limite pour la solution 10.09.2015.

it:
“Che rotolo di carta lungo che hai”, disse Lisa. Mike rispose: “Hai ragione. Ma puoi calcolare quanto è lungo. La divido in due pezzi di identica lunghezza. La prima metà la divido in 4 pezzi uguali (lunghezza a). L´altra metà invece la divido in tre pezzi uguali (lunghezza b). La differenza tra a e b si aggira così a 7 cm.” Quanto era lungo il rotolo prima del taglio? – 3 punti blu.
Come si calcola la lunghezza di un tale rotolo, quando la differenza tra un pezzo corto ed un pezzo lungo assomma d cm e se il numero dei pezzi corti è più grande di 1 cm rispetto al numero dei pezzi lunghi? 3 punti rossi.
frz:

„T’as un long rouleau de papier, la“, dit Lisa. Mike réponds : »T’as raison. Et tu peux calculer la longueur totale. Je le partage en deux parties égales. Ensuite je coupe une partie en 4 morceaux égaux (longueur a). L’autre partie, je coupe en 3 morceaux égaux (longueur b). La différence entre a et b est de 7 cm. « Quelle longueur avait le rouleau de papier avant le découpage ? » - 3 points bleus.
Comment peut-on calculer la longueur du rouleau de papier si la différence entre un morceau court et un morceau long est de d cm, et le nombre des morceaux courts et toujours un de plus que le nombre de morceaux longs ? – 3 points rouges.

eng

“You've got a long roll of paper”, Lisa said.
“That's right”, Mike replied. “but you can calculate how long it is. I divide it into two equal parts. One half I subdivide into 4 parts of equal length (length a). The other half I divide into three equal parts (length b). The difference you get between a and b are 7cm.”
How long was the roll of paper before it got cut into pieces? - 3 blue points
How can you calculate the length of such a roll if the difference between the short parts and the long ones was d cm and the number of short parts exeeded the number of the long parts by one? - 3 red points

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Lösung von Calvin, danke: --> als pdf <--