Serie 39

Aufgabe 2

458. Wertungsaufgabe

„Hallo Mike, willst du das Dreieck zerschneiden?“, fragte Bernd. „Eigentlich nicht, nur konstruieren.“
Mike hat bei einem beliebigen Dreieck ABC die Mittelpunkte D, E, F der Seiten konstruiert. Anschließend hat er die Mittelpunkte verbunden. Es gibt nun ein Dreieck DEF und noch drei Dreiecke, die jeweils aus zwei der Mittelpunkte und einem Eckpunkt des Dreiecks ABC gebildet werden.
Konstruktionsbeschreibung der Figur, 3 blaue Punkte, Beweise, dass die vier Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben (oder auch nicht), noch mal vier blaue Punkte.
Für 5 rote Punkte ist zu zeigen, dass die 4 Seitenmittelpunkte eines jeden konvexen Vierecks die Eckpunkte eines Parallelogramms sind.

Termin der Abgabe 16.04.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 16.04.2015. Deadline for solution is the 16th. April 2015. Date limite pour la solution 16.04.2015.

“Hi Mike, do you want to cut up the triangle?”, Bernd asked.
“Not really, I actually want to construct it.”
In a general triangle ABC Mike has constructed the centres D, E, F of the edges. Then he has connected these centres. Now there is triangle DEF and three more triangles whose vertices are two centres and one vertex of triangle ABC each.
Describe how such a shape can be constructed – 3 blue points
Show that the four triangles cover the same area (or don't) – another 4 blue points
5 red points for showing that the four centres of any convex quadrilateral form the vertices of a Parallelogram.

« Salut Mike, veux-tu découper le triangle ? », demanda Bernd. « Pas vraiment, seulement le construire ».
Mike a construit le points centraux D, E, F sur des lignes du triangle ABC. Puis il a rejoint les centres. Il existe maintenant un triangle DEF et trois triangles, formés chacun de deux des centres et un sommet du triangle ABC.
Description structurale de la figure, trois points bleus, la preuve que les quatre triangles ont la même surface (ou non), quatre points bleus supplémentaires.
Pour cinq points rouges, il faut démontrer que les quatre points médians de chaque quadrilatère convexe sont les sommets d'un parallélogramme.

Ciao Mike, che vuoi tagliare il triangolo?”, chiese Bernd. “In realtà no, solamente lo volevo costruire.”
Mike ha costruito ad un triangolo qualunque ABC i punti centrali D,E,F dei lati. In seguito a ciò ha collegato i punti centrali. Ora ci sta’ un triangolo DEF e tre altri triangoli che vengono formati ciascuno di loro da due dei punti centrali ed un punto angolare del triangolo ABC.
Descrizione della costruzione della figura, 3 punti blu. Prova, che i quattro triangoli hanno la stessa superficie (oppure anche no), altri quattro punti blu.
Per 5 punti rossi bisogna dimostrare che i quattro punti centrali dei lati di ciascun quadrangolo convesso sono punti angolari di un parallelogramma.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Lösung (leicht modifiziert) von Hans, danke:

Konstruktionsbeschreibung für das Dreieck ABC: von jeder Dreiecksseite wird die Streckensymmetrale konstruiert, um die Halbierungspunkte jeder Seite zu erhalten.
(Konstruktion von D. Jeweils Kreisbogen um A bzw. B mit r größer als die Hälfte von AB. Die Schnittpunkte der Kreisbögen mittels Gerade verbinden. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit AB ist der gesuchte Punkt D.)
Beschriftung: D = Halbierungspunkt der Seite AB, E = Halbierungspunkt der Seite BC. F = Halbierungspunkt der Seite AC. Somit erhält man die folgenden vier Teildreiecke: ADF, DBE, FEC, DEF. Wendet man in dieser Figur den 1. Strahlensatz vom Eckpunkt A aus an, so gilt:
AD : AB = AF : AC = 1 : 2 (mit AD etc. sind die Längen der entsprechenden Abschnitte gemeint). Daraus ergibt sich, dass DF und BC die parallelen Abschnitte sein müssen und es gilt: DF : BC = 1 : 2 (2. Strahlensatz).
Analog kann man den Strahlensatz von den anderen Eckpunkten B und C aus anwenden. Insgesamt erhält man dann: Die Seiten des Dreiecks DEF sind jeweils parallel zu einer Seite des Dreiecks ABC und halb so lang wie jene, ferner hat das Dreick DEF die gleichen Innenwinkel wie das Dreieck ABC. Somit ergibt sich für die anderen drei Teildreiecke: Die Seiten sind ebenfalls halb so lang wie die Seiten des Dreiecks ABC und ihre Innenwinkel stimmen ebenfalls mit den Innenwinkeln des Dreiecks ABC überein. Auf Grund der Kongruenzsätze für Dreiecke sind die vier Teildreiecke kongruent, sie haben also den gleichen Flächeninhalt. Dieser beträgt ein Viertel des Flächeninhalts des Dreiecks ABC. (Die Gleichheit der vier Flächeninhalte folgt auch unter Anwendung der trigonometrischen Flächeninhaltsformel.) Konvexes Viereck ABCD, E = Halbierungspunkt von AB, F = Halbierungspunkt von BC, G = Halbierungspunkt von CD, H = Halbierungspunkt von AD. Der Beweis lässt sich sehr einfach mit Hilfe von Vektoren führen.( Zur Vereinfachung der Bezeichnung soll im Folgenden X_Y der Vektor von X nach Y sein.)
Folgende drei Vektoren gibt man vor, um das Viereck aufspannen zu können: A_B, B_C, C_D.
Daraus ergeben sich folgende Vektorbeziehungen:
1. A_D = A_B + B_C + C_D
2. E_H = -1/2*A_B + 1/2*A_D = -1/2*A_B + 1/2*(A_B + B_C + C_D) = 1/2*B_C + 1/2*C_D
3. F_G = 1/2*B_C + 1/2*C_D
Aus 2. und 3. folgt: E_H = F_G, sie sind also gleich lang und parallel.
4. E_F = 1/2*A_B + 1/2*B_C
5. H_G = 1/2*A_D - 1/2*C_D = 1/2*(A_B + B_C + C_D) - 1/2*C_D = 1/2*A_B + 1/2*B_C
Aus 4. und 5. folgt: E_F = H_G, sie sind also ebenfalls gleich lang und parallel.
Damit ist gezeigt, dass die Punkte E, F, G und H ein Parallelogramm aufspannen.