Serie 39

Aufgabe 3

459. Wertungsaufgabe

„Hallo Lisa, bastelst du mit deinem Mathematikkurs wieder mal Pyramiden?“, fragte Mike, als er in Lisas Zimmer kam. „Stimmt. Es sollen gerade quadratische Pyramiden werden. Ich habe die Maße für die Pyramide (Grundkante, Höhe) so gewählt, dass die Grundfläche 144 cm² groß wird und das Volumen 540 cm³ beträgt.“ „Verstehe.“
Wie groß sind die Abmessungen der Pyramide? 3 blaue Punkte.
Wie groß wären die Abmessungen der Pyramide, wenn das Volumen 540 cm³ und die gesamte Oberfläche 144 cm³ groß wären? Formel herleiten + exakte Lösung oder gute Näherungslösung 7 rote Punkte

Termin der Abgabe 23.04.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 23.04.2015. Deadline for solution is the 23th. April 2015. Date limite pour la solution 23.04.2015.

en

“Hi Lisa, are you making pyramids again in you maths club?”, Mike asked as he entered Maria's room.
“Indeed. They are supposed to be square pyramids. I chose the measurements (base sides, height) in a way that the base area is 144 cm² and the volumes is 540 cm³.”
“Right.”
What are the measurements of the pyramid? - 3 blue points.
What would be the measurements of the pyramid if the volume was 540 cm³ and the total surface are 144 cm³? - derive an equation + exact solution or good approximation – 7 red points

frz

"Salut Lisa, tu bricole avec ta classe de mathématiques des nouveau pyramides?" Mike demande à Lisa en rentrant dans sa chambre. «C’est ça. Des pyramides carrées parfaites. J’ai choisi les dimensions de la pyramide (bord de base, hauteur) d’une telle sorte que la superficie de la base est de 144 cm² et le volume est de 540 cm³. "
" Je vois. "
Quelles sont les dimensions de la pyramide? 3 points bleus.
Quelles sont les dimensions de la pyramide si le volume serait de 540 cm³ et la superficie totale de 144 cm³ ? Formule dérivée + solution exacte ou une très bonne solution approximative 7 points rouges

“Ciao Lisa, che stai costruendo con il tuo corso di matematica di nuovo delle piramidi?”, chiese Mike quando entrò nella camera di Lisa. “È vero. Devono essere piramidi diritte e quadrate. Ho scelto le misure per la piramide (bordo di base, altezza) a tal modo, che la base sarà grande 144 cm² e il volume 540 cm³.” “Capisco.”
Quanto sono grandi le dimensioni della piramide? 3 punti blu.
Quanto grandi sarebbero le dimensioni della piramide, se il volume fosse grande 540 cm³ e la intera superficie 144 cm³? Fare risalire la formula + soluzione esatta oppure una buona soluzione approssimativa. 7 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

blau: Die Grundfläche ist 144 cm² groß und ein Quadrat, also ist dessen Kantenlänge 12 cm. Die Höhe der Pyramide ergibt sich aus {tex} h = \frac{3 V}{A_g}{/tex} und beträgt 11,25 cm.
rot: Obwohl aus Grundfläche "nur" Oberfläche wird, so ist doch die Rechnung deutlich anders, wobei sich herausstellt, dass zu den gegebenen Werten keine Pyramide existiert.
Es gab verschiedene Lösungsansätze. Ganz originell die Übertragung des Problems auf eine Kugel und daraus abgeleitet, dass es keine solche Pyramide geben kann. Die  Formeln einer quadratischen Pyramide : {tex}V= \frac {1}{3}a^2 h\\{h_a}^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}\\ A_O = a^2 + 2 a h_a{/tex}
lassen sich nach a,  h oder h_a umstellen und untersuchen. Die Untersuchung von Linus nutzt Umstellung und Tabellenkalkulation, danke -->pdf <--