Serie-4

Aufgabe 1:

In die Klasse von Bernd gehen 12 Mädchen. Alle haben im gleichen Jahr Geburtstag. Als Bernd sich für die Mädchen zu interessieren beginnt - oder so - schreibt er die Geburtstage alle auf. Dabei ergibt sich, dass jedes der Mädchen in einem anderen Monat Geburtstag hat. Bernd multipliziert die Tagzahl des Geburtstages mit der Monatszahl (das wäre also beim 14.7. dann die 98 gewesen, war aber nicht dabei) und erhält folgende Ergebnisse:
Astrid 49,
Beate 3,
Christina 52,
Doris 130,
Evelyn 187,
Friederike 300,
Gudrun 14,
Heike 42,
Ines 81,
Kerstin 135,
Liane 128 und
Martina 153.
Als Bernd nach Hause kommt, möchte er die Geburtsdaten in seinen Kalender eintragen. Allerdings hat er nur noch den Ergebniszettel. Ob er seine Liste verloren hat oder ob Mike sie an sich genommen hat, ist nicht heraus zu bekommen.
Wer an welchem Tag Geburtstag hat schon.
Es ist eine Liste in kalendarischer Reihenfolge mit genauem Datum zu ermitteln!

Zu erreichen sind 8 Punkte.

Es geht also darum, die vorgegeben Zahlen in je zwei Faktoren zu zerlegen. Einige der Zerlegungen sind eindeutig:
49 = 7 * 7 ==> Astrids Geburtstag 7.7.
187=11 * 17==> Evelins Geburtstag 17.11.
Es ist also nicht jede Zerlegung sinnvoll, da einer der Faktoren nicht größer als 12 sein darf und die Monatszahl darf bei jedem nur einmal vorkommen.
Die einzige Zahl, die 12 als Teiler hat ist die 300. 300= 25 * 12 ==>Friederikes Geburtstag 25.12.
153 = 17 * 9 ==> Martinas Geburtstag 17.9.
Damit kommt nun von den möglichen Zerlegungen der 81= 9* 9 = 3 * 27 nur noch die 3 * 27 in Frage, da der Septembermonat schon für die Martina vergeben ist. ==> Ines Geburtstag 27.3
Damit kommt in Auswertung der 3 = 3 * 1 nur der 1.3 für Beate in Frage und zugleich ist die Zerlegung von 14 = 1 * 14 ausgeschlossen. Also muss 14 = 2 * 7 genommen werden ==> ( wegen Astrid) Gudruns Geburtstag 7.2.
42 = 6 * 7 = 3 * 14 = 2 * 21 von diesen Zerlegungen entfallen die beiden letzten (Ines 27.3. und Gudrun 7.2.) wegen Astrid (7.7) ==> Heikes Geburtstag 7.6.
Das System ist jetzt klar wie also die Zerlegungen weiter untersucht werden.
Hier nun die komplett sortierte Liste:
Beate 3.1
Gudrun 7.2
Ines 27.3
Christina 13.4
Kerstin 27.5
Heike 7.6
Astrid: 7.7
Liane 16.8
Martina 17.9
Doris 13.10
Evelin 17.11
Friederike 25.12

Aufgabe 2:

Bernd hat für ein paar Tage den Hund von Mike. Er geht mit ihm auf den Sportplatz. Beide stellen sich am Start für die 400-Meterstrecke auf. Beide rennen los, allerdings läuft der Dackel anders herum um die Bahn. Nach wie viel Sekunden treffen sich die beiden wieder, wenn Bernd 5 m/s und der Dackel 3 m/s schafft? Wie viele Meter ist Bernd gerannt?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Auch wenn sie am gleichen Ort loslaufen, so ist doch der Gesamtweg den sie absolvieren müssen 400 m, die sie praktisch auf einander rennen.
Mit 1 für Bernd und 2 für den Dackel ergibt sich, da ja beide dieselbe Zeit t unterwegs sind:
400m = v₁^.t + v₂^.t
400 m = 5 m/s^.t + 3 m/s ^.t
400 m = 8 m/s^.t
t = 50 s.
Für Bernd ergibt das also einen Weg von 250 m, wo er dann nach 50 Sekunden den Dackel wieder findet.
Geschafft dachte Bernd, als er endlich den Hund wieder los war.

Aufgabe 3:

Bernd findet im Schrank seines Vaters ein altes Briefmarkenalbum. Obwohl er sich eigentlich gar nicht für die langweiligen Papierschnipsel interessiert, fallen ihm die besonderen Marken mit den Weltwundern ins Auge. Das muss ich mal meiner Geschichtslehrerin erzählen, das ist vielleicht mal was, was die nicht weiß. Vorher zählt er noch schnell alle Marken durch. Als er am nächsten Tag Mike davon berichtet, sagte der, da habe ich ja genau doppelt so viele Marken wie dein Vater. Allerdings hat mein kleiner Mirko, obwohl er 2 Alben mit je 350 Marken hat, nur 40 Marken mehr als dein Vater.
Wie viele Marken haben alle drei Sammler zusammen?
Zu erreichen sind 4 Punkte.
PS.: Die Geschichtslehrerin hatte die Marken erst geschenkt bekommen. War wieder nichts, womit er seine Lieblinglehrerin erfreuen konnte, schade.

Textversion:
Mirko hat 2 mal 350 Marken, also 700.
Der Vater hat 40 Marken weniger, also 660 Marken.
Mike hat doppelt so viele wie der Vater, also 1320 Marken.
Insgesamt hat die drei Sammler also 2680 Marken.

Serie 4 Aufgabe 4

Bernd lernt in der Schule, was eine Quersumme einer natürlichen Zahl ist. Das ist die Summe ihrer Ziffern. Er denkt sich einen neuen Begriff aus, das Querprodukt, also sollen die Ziffern multipliziert werden. Bei 36 ist das Querprodukt dann 18, da 3 mal 6 18 ergibt.
Seinem Freund Mike, dem er von seiner Erfindung erzählt, fällt dazu folgende Aufgabe ein:
Finde die größte vierstellige Zahl, deren Querprodukt 504 ergibt! Während Bernd seine Erfindung etwas verflucht, sollte die Lösung doch zu finden sein, oder?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Die Zahl 504 lässt sich in Primfaktoren zerlegen:
504 = 2*2*2*7*9
Die größten einstelligen Faktoren sind also 8, 7, 9. Da die Zahl vierstellig sein soll, kann nur noch die Ziffer 1 fehlen, da jede andere Zahl das Querprodukt ändern würde. Die Sortierung der Ziffern liefert das Ergebnis:

9871

Aufgabe 5

Gulliver kam auf seiner Reise bekanntlich in Lilliput vorbei. Er war 12 mal größer als die Landesbewohner. Nach dem der Schrecken vorbei war, den sie wegen des Riesen hatten, wollten sie es ihm ein wenig bequemer macher und gaben eine Zudecke und einen Krug in Auftrag der in entsprechender Vergrößerung angefertigt werden sollte. Die normale Decke maß bei den Lilliputanern 3 lilmeter mal 1 lilmeter. Wie viel limeter² brauchten die Schneider? Ein Krug fasste normalerweise 1 Lilliter. Wie viel Lilliter musste in den entsprechend vergrößerten Krug für Gulliver hineinpassen?
Zu erreichen sind 2 +3 Punkte.
In vielen Ausgaben von Gullivers Reisen wird der dritte Aufenthalt einfach weggelassen. Dieser führte ihn auf eine Insel mit schlauen Pferden, den Yahoos, deren Namen heute in einem anderen Zusammenhang wieder zu Ehren gekommen ist.

Teil 1:
Die Decke muss in Länge und Breite jeweils 12 mal größer sein. Die Maße sind also 36 bzw. 12 lilmeter.
Die Schneider brauchen also 432 lilmeter².
Teil 2:
Auch hier findet die Ähnlichkeit wieder Anwendung. Allerdings in 3 Dimensionen. Die Grundfläche wird in Länge und Breite 12 mal größer und natürlich müsste auch die Höhe 12 mal größer sein.
Daraus ergibt sich, dass der Krug 1 Lilliter*12*12*12= 1728 Lililiter fassen würde.

Serie 4 Aufgabe 6

Bernd hat in den Sommerferien 4 (!) Mädchen kennengelernt, die kannten sich auf unterschiedliche Weise und hießen Anne, Birgit, Celia und Damaris und wohnten in Berlin, Cottbus, Halle und Leipzig:
1. Birgit und das Mädchen aus Halle hatten sich in Chemnitz kennen gelernt.
2. Anne und Birgit schreiben sich mit den Mädchen aus Berlin und Leipzig regelmäßig SMS.
3. Celia und das Mädchen aus Berlin waren neulich zusammen in Dresden.
Welches Mädchen wohnt in welcher Stadt?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Aus 1. folgt Birgit wohnt nicht in Halle.
Aus 2. folgt Birgit und Anne wohnen nicht in Berlin und Leipzip.
--> Birgit wohnt in Cottbus und
--> Anne wohnt in Halle.
Aus 3. folgt Celia wohnt nicht in Berlin.
--> Celia wohnt in Leipzig
--> Damaris wohnt in Berlin

Zusammenfassung in alphabetischer Reihenfolge:
Anne wohnt in Halle, Birgit in Cottbus, Celia in Leipzig und Damaris in Berlin

Aufgabe 7

In einem Haus wohnen 12 Familien mit insgesamt 41 Personen. Die Familien bestehen aus 3, 4 oder 5 Personen. Familien mit drei Personen gibt es am häufigsten, die mit 5 Personen sind am wenigsten vertreten. Stelle die Familienverteilung für das Haus zusammen.
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Da hat sich doch ein Fehler eingeschlichen, danke Paul für deinen Hinweis.
Lösungsweg von Mawi, vielen Dank.
3x+4y+5z = 41 mit x>y>z
=> x>=3, y>=2, z>=1 bzw. x=3+a, y=2+b, z=1+c mit a>=b>=c
=> 9+3a+8+4b+5+5c=22+3a+4b+5c=41 => 3a+4b+5c=19 mit a>=b>=c
c=0, b=0 => geht nicht, da 19 nicht durch 3 teilbar
c=0, b=1 => a=(19-4)/3=5
c=0, b=2 => geht nicht, da 11 nicht durch 3 teilbar
c=0, b=3 => geht nicht, da 7 nicht durch 3 teilbar
nun wird c
c=1, b=1 => geht nicht, da 10 nicht durch 3 teilbar
c=1, b=2 => a=(19-4*2-5*1)/3=6/3=2
nun wird c
c=2 => nun wird c

=> 1. Lösung: x=3+a=3+5=8; y=2+b=2+1=3; z=1+c=1+0=1 => 3*8+4*3+5*1=24+12+5=41
=> 2. Lösung: x=3+a=3+2=5; y=2+b=2+2=4; z=1+c=1+1=2 => 3*5+4*4+5*2=15+16+10=41
Die beiden Lösungen sind die einzigen wie der Lösungsweg verdeutlicht.
Die Verteilung kann also sein:
8 Familien zu 3 Personen, 3 Familien zu 4 Personen und 1 Familie mit 5 Personen.
oder
5 Familien zu 3 Personen, 4 Familien zu 4 Personen und 2 Familien mit 5 Personen.

Also noch einmal:
Ich verwende die Variablen d für drei Personen, v für vier Personen und f für fünf Personen:
Es gilt: d > v > f. Es sind nur positive ganze Zahlen erlaubt.
1. Gleichung: d + v + f = 12
2. Gleichung: 3d + 4v + 5f = 41
Dieses Gleichungssystem ist unterbestimmt, aber dass f kann nicht sehr groß sein, genauer gesagt < 4, ist schnell erkennbar, denn die Ungleichungsbedingung verlangte in dem Fall f=4 v mindestens 5 und d mindestens 6 ==> Widerspruch zu 1. ( Größeres f analog)
Es sind also nur noch drei Fälle zu untersuchen:
1. Fall: f = 3
Aufgrund der Ungleichung und 1. ergibt sich nur die Variante v = 4 und d = 5. ==> Widerspruch zu 2.
2. Fall: f = 2
==> 1*: d + v = 10
und 2*: 3d + 4v = 31
1** d = 10 - v in 2* eingesetzt ==>
3(10 - v) +4v = 31
30 - 3v + 4v = 31
v = 1 und d = 9
Die Gleichungen 1 und 2 sind zwar erfüllt, aber nicht die Ungleichung also entfällt auch Fall 2.
3. Fall: f = 1
==> 1*: d + v = 11
und 2*: 3d + 4v = 36
1** d = 11 - v in 2* eingesetzt ==>
3(11 - v) +4v = 36
33 - 3v + 4v = 36
v = 3 und d = 8
Der Fall 1 erfüllt alle Bedingungen und auch der einzige.
Puh, geschafft. Es sind 8 Familien mit 3 Personen, 3 Familien mit 4 Personen und 1 Familie mit 5 Personen.

Aufgabe 8

Zum Start eine Sonntagsfrühstücksaufgabe:
Aus einem Korb mit Eiern entnahm Bernd die Hälfte aller Eier, seine jüngere Schwester die Hälfte des Restes, Mike die Hälfte des neuen Restes und zum Schluss nahm Bernds Mutter die Hälfte des letzten Restes. Im Korb waren danach noch 10 Eier.
Wie viele Eier waren am Anfang im Korb und wie viele Eier nahmen die einzelnen Leute heraus?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Jetzt wird nicht herum geeiert, sondern los geht es.
Die Mutter nahm 10 Eier heraus, denn sie nahm als letzte die Hälfte heraus. Damit sind es zu dem Zeitpunkt 20 Eier.
Mike nahm 20 Eier heraus, denn ... Damit sind es zu dem Zeitpunkt 40 Eier.
Die jüngere Schwester nahm 40 Eier heraus, denn ... Damit sind es zu dem Zeitpunkt 80 Eier.
Bernd nahm 80 Eier heraus, denn ... Damit waren es am Anfang 160 Eier.
PS.: Einige fragten, wozu die vielen Eier gebraucht wurden. Nun es sollte an der Schule von Bernd und Mike ein neuer Omelettrekord aufgestellt werden. Sie haben es auch geschafft, allerdings ist seit dem der Appetit auf Omelett nicht mehr so groß. Der Weltrekord liegt allerdings bei 46 000 Eiern. Am 13. Mai 2002 wurde im Brockville Memorial Centre (Ontario, Kanada) das Superomelett gebacken, es war 141 Quadratmetern groß.

Aufgabe 9

Bei dieser Aufgabe stehen gleiche Buchstaben für die gleiche Ziffer und verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern.
ABCDC ^. C = CDCBA
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Die zentrale Rolle spielt die Ziffer C.
C kann nicht 0 sein, wegen der verschiedenen Ziffernbedeutung.
C kann nicht 1 sein, sonst wäre C = A (1 ^. 1 = 1).
Daraus folgt CDCBA > ABCDC und damit C > A. ¹
Weitere C ^. C Untersuchung
2 ^. 2 = 4 Widerspruch zu ¹
Dieser Widerspruch ergibt sich ebenso für die Ziffern 3 bis 7.
Für C = 8 wäre A = 4 und damit allerdings würde das Produkt sechsstellig.
So bleibt also nur C = 9 als einzige Möglichkeit.
Daraus folgt A = 1.
Zwischenergebnis: 1B9D9 ^. 9 = 9D9B1
Nun ist B = 0 zwingend, denn B kann nicht mehr 1 sein und für größere Ziffern würde das Produkt sechsstellig.
Zwischenergebnis: 109D9 ^. 9 = 9D901
Da 109XX ^. 9 bereits für XX = 00 auf 98100 führt liegt damit auch die letzte Ziffer eindeutig fest, D = 8.
Die Aufgabe hat nur eine einzige Lösung: 10989 ^. 9 = 98901

Aufgabe 10

In der Klasse von Bernd ist ein Fussball in eine Scheibe geflogen.Der Hausmeister fragt bei den vier anwesenden Schülern nach und kriegt folgendes zu hören.
1. Anton sagt, dass Britta geschossen hat.
2. Britta sagt, es sei Claus gewesen.
3. Claus sagt, ich war es nicht.
4. Dieter sagt, ich war es auch nicht.
Der Hausmeister ist ratlos. Bernd kommt dazu und ist sich sicher, dass drei der Aussagen falsch sind.
Mit wem muss er reden, damit sich der - oder die - Schuldige, zu der Tat bekennt.
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Systematisch wird der Wahrheitsgehalt untersucht, d. h. ist die untersuchte Aussage wahr, dann sind die drei anderen falsch und daraus muss auf einen einzigen Täter geschlossen werden können.
1. Aussage wahr ==> es waren Britta (1.), aber auch Claus(3.) und Dieter (4.) ==> die Variante entfällt
2. Aussage wahr ==> es waren Claus(2., 3.) und Dieter (4.) ==> die Variante entfällt
3. Aussage wahr ==> es war nicht Britta (1.), es war nicht Claus (2., 3.). Es war Dieter (4.) ==> die Variante ist möglich
4. Aussage wahr ==> es war nicht Claus (2.) und es war Claus (3.) ==> die Variante entfällt
Alle Aussagen sind untersucht. Es bleibt nur die Variante 3, d.h. Dieter war der Täter und er sollte sich dazu bekennen.
Es ist allerdings auch das Verhalten von Anton und Britta zu untersuchen und das nicht nur im Ethikunterricht.

Serie 4 Aufgabe 11

Bernd liest einen Artikel über die Fibo-Kaninchen. Mit diesen hat es folgende Bewandtnis. Diese Tiere werden bereits mit einem Monat geschlechtsreif und werfen dann nach einer Tragzeit von jeweils einem Monat monatlich genau ein Pärchen Kaninchen, die in einem Monat geschlechtreif werden und dann nach einer Tragzeit von einem Monat monatlich genau ein Pärchen Kaninchen, die in ...

Wenn nun Bernd sich so ein gerade geworfenes Pärchen Kaninchen wirklich kaufen würde, wie groß müsste die Anzahl der Boxen in seinem Stall sein, damit nach einem Jahr jedes Pärchen seine eigene Box hat?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Diesmal war es doch recht schwierig für einige Teilnehmer den richtigen Ansatz zu finden. Diese Aufgabe aus dem 12. Jahrhundert von Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, ist natürlich auch sehr idealisiert. Keines der Kaninchen stirbt, es gibt keine Inzuchterscheinungen, ... Das mahnten die Teilnehmer zu recht an, aber nun ja.
1. Monat: 1 Paar
2. Monat: 1 Paar, am Ende wird das erste neue Paar geboren, also
3. Monat: 2 Paare, am Ende wirft das erste Paar wieder ein Paar, also
4. Monat: 3 Paare, am Ende wirft das erste Paar wieder ein Paar, aber das zweite Nachwuchspaar bekommt auch sein erstes Nachwuchspaar, also
5. Monat: 5 Paare, am Ende wirft das erste Paar wieder ein Paar, aber das zweite Nachwuchspaar bekommt auch sein zweites Nachwuchspaar,aber das dritte Nachwuchspaar bekommt auch sein erstes Nachwuchspaar, also
6. Monat: 8 Paare, am Ende wirft das erste Paar wieder ein Paar, aber das erste Nachwuchspaar bekommt auch wieder Nachwuchspaar, das zweite Nachwuchspaar bekommt auch sein Nachwuchspaar, das dritte Nachwuchspaar bekommt auch sein zweites Nachwuchspaar,das vierte Nachwuchspaar bekommt auch sein erstes Nachwuchspaar, also
7. Monat: 13 Paare, ...
Wenn man sich die Zahlenentwicklung anschaut, ergibt sich die aktuelle Monatszahl immer durch Addition der beiden Vormonatszahlen, also 8. Monat: 21 Paare
9. Monat: 34 Paare
10. Monat: 55 Paare
11. Monat: 89 Paare
12. Monat: 144 Paare
Am Ende des Monats sind es es sage und schreibe: 233 Paare.
So viele Boxen müsste Bernd bereitstellen, hoffentlich hat er das sich vorher überlegt.
Die Fibonacci- Zahlen finden vielfältige Anwendungen in der Natur und Mathematik und sie wachsen rasend schnell, auch wenn es am Anfang nicht so aussieht.
Hiermal noch die nächsten: 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...
Wird eine Fibonaccizahl durch ihren Vorgänger dividert, so konvergiert dieset Quotient gegen 1,618... Dieser Wert ist beim goldenen Schnitt das Ergebnis und wahrscheinlich eine irrationale Zahl, von der man schon lange weiß und wegen der auch schon ein Mathematiker ermodert wurde. Mehr sei an der Stelle nicht verraten.

Serie 4 Aufgabe 12

Bernd bekommt Besuch von seinem Cousin Nick. Der ist erst 1 Jahr alt und kommt deshalb mit seiner Mutter zu Besuch. Nick kann natürlich noch nicht aufs Töpfchen gehen, weshalb er Windeln dran hat. Nicks Mutter behauptet, dass man durch die Verwendung von Stoffwindeln unwahrscheinlich Geld sparen kann. Bernd will das nun ganz genau wissen und überprüfen. Dazu holt er sich alle nötigen Daten ein:
Die Stoffwindeln mussten nicht gekauft werden, da Nick diese von seinem großen Bruder geerbt hat. Davon benötigt er in 24 h durchschnittlich 7 Stück. Eine Waschnmaschinenladung fasst 23 Stoffwindeln. Das Waschmittel kostet pro Waschgang 0.07 EUR. Die Waschmaschine verbraucht 70 Liter Wasser pro Waschgang und 1,1 kWh pro Waschgang. Bei den Stadtwerken hat Bernd nachgefragt, was Wasser und Strom kosten. Dort erhielt er folgende Auskünfte: 1000 l Trinkwasser kosten 4,50 EUR und 1kWh kostet 0,17 EUR. Außerdem legt Nicks Mutter immer ein Vlies in die Windel, das wann weggeworfen wird. Davon kosten 100 Stück 4,95 EUR. Sie verbraucht noch 25 EUR im Jahr für neue Windelhöschen, die einfach ab und zu erneuert werden müssen, weil der Kleine noch im Wachstum ist.
Bei Pampers und Co. entstehen folgende Kosten: Nick braucht davon 6 Windeln in 24 Stunden, da diese saugstärker sind. 70 Stück kosten 9,59 EUR.
Wieviel EUR spart die Mutter in 1 Jahr (365 Tagen), wenn sie konsequent Stoffwindeln verwendet??
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Schwierig war die Aufgabe an sich eigentlich nicht, aber ein paar Fehler schlichen sich dort da und dort ein.
Hier die Beispiellösung von D. Neumann - vielen Dank.

gegeben: -Pampers: 6 Stück pro Tag
                              70 Stück 9,95 EUR
              -Stoffwindeln: 7 Stück pro Tag
              -Vlies: 7 Stück pro Tag
                        100 Stück 4,95 EUR
              -Waschmaschine: 23 Windeln / Ladung
                                         pro Waschgang: 0,07 EUR Waschmittel
                                                                  70 l Wasser
                                                                  1,1 kwh Strom
              -Stadtwerke: 1000 l Wasser 4,50 EUR
                                  1 kwh 0,17 EUR
              -Windelhöschen: 25,00 EUR pro Jahr
Lösung: Stoffwindeln: 7*365=2555
                               Vlies: 2555:100*4,95 = 126,47 EUR
                               Waschen: Wasser: 70 l: 1000 l l*4,50 =0,315 EUR
                                               Strom: 1,1kwh*0,17 =0,187 EUR
                                               0,315+0,187+0,07 =0,572 EUR (pro Waschgang)
                                               2555:23*0,572 =63,54 EUR
                               126,47 + 63,54 + 25,00 (Windelhöschen]= 215,01 EUR
             Pampers: 365*6=2190
                            2190:70*9,59 =300,03 EUR
            =>300,03 - 215,01 =85,02 EUR
            Mit den Stoffwindeln spart man 85,02 pro Jahr. 

Auswertung Serie 4