Serie-4

Aufgabe 7

In einem Haus wohnen 12 Familien mit insgesamt 41 Personen. Die Familien bestehen aus 3, 4 oder 5 Personen. Familien mit drei Personen gibt es am häufigsten, die mit 5 Personen sind am wenigsten vertreten. Stelle die Familienverteilung für das Haus zusammen.
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Da hat sich doch ein Fehler eingeschlichen, danke Paul für deinen Hinweis.
Lösungsweg von Mawi, vielen Dank.
3x+4y+5z = 41 mit x>y>z
=> x>=3, y>=2, z>=1 bzw. x=3+a, y=2+b, z=1+c mit a>=b>=c
=> 9+3a+8+4b+5+5c=22+3a+4b+5c=41 => 3a+4b+5c=19 mit a>=b>=c
c=0, b=0 => geht nicht, da 19 nicht durch 3 teilbar
c=0, b=1 => a=(19-4)/3=5
c=0, b=2 => geht nicht, da 11 nicht durch 3 teilbar
c=0, b=3 => geht nicht, da 7 nicht durch 3 teilbar
nun wird c
c=1, b=1 => geht nicht, da 10 nicht durch 3 teilbar
c=1, b=2 => a=(19-4*2-5*1)/3=6/3=2
nun wird c
c=2 => nun wird c

=> 1. Lösung: x=3+a=3+5=8; y=2+b=2+1=3; z=1+c=1+0=1 => 3*8+4*3+5*1=24+12+5=41
=> 2. Lösung: x=3+a=3+2=5; y=2+b=2+2=4; z=1+c=1+1=2 => 3*5+4*4+5*2=15+16+10=41
Die beiden Lösungen sind die einzigen wie der Lösungsweg verdeutlicht.
Die Verteilung kann also sein:
8 Familien zu 3 Personen, 3 Familien zu 4 Personen und 1 Familie mit 5 Personen.
oder
5 Familien zu 3 Personen, 4 Familien zu 4 Personen und 2 Familien mit 5 Personen.

Also noch einmal:
Ich verwende die Variablen d für drei Personen, v für vier Personen und f für fünf Personen:
Es gilt: d > v > f. Es sind nur positive ganze Zahlen erlaubt.
1. Gleichung: d + v + f = 12
2. Gleichung: 3d + 4v + 5f = 41
Dieses Gleichungssystem ist unterbestimmt, aber dass f kann nicht sehr groß sein, genauer gesagt < 4, ist schnell erkennbar, denn die Ungleichungsbedingung verlangte in dem Fall f=4 v mindestens 5 und d mindestens 6 ==> Widerspruch zu 1. ( Größeres f analog)
Es sind also nur noch drei Fälle zu untersuchen:
1. Fall: f = 3
Aufgrund der Ungleichung und 1. ergibt sich nur die Variante v = 4 und d = 5. ==> Widerspruch zu 2.
2. Fall: f = 2
==> 1*: d + v = 10
und 2*: 3d + 4v = 31
1** d = 10 - v in 2* eingesetzt ==>
3(10 - v) +4v = 31
30 - 3v + 4v = 31
v = 1 und d = 9
Die Gleichungen 1 und 2 sind zwar erfüllt, aber nicht die Ungleichung also entfällt auch Fall 2.
3. Fall: f = 1
==> 1*: d + v = 11
und 2*: 3d + 4v = 36
1** d = 11 - v in 2* eingesetzt ==>
3(11 - v) +4v = 36
33 - 3v + 4v = 36
v = 3 und d = 8
Der Fall 1 erfüllt alle Bedingungen und auch der einzige.
Puh, geschafft. Es sind 8 Familien mit 3 Personen, 3 Familien mit 4 Personen und 1 Familie mit 5 Personen.