Serie-5

Aufgabe 1:

Bernd hatte Anfang Oktober Geburtstag und bekam von Mike ein nicht mehr neues Buch mit mathematischen Knobeleien. Anfangs war er nicht so begeistert, aber dann kam seine Neugierde doch durch und er fand etliche Aufgaben, die ihn regelrecht fesselten, so auch diese:
Irgendwann im Mittelalter kurz nach 16.00 Uhr wurde Prinz Albert, seine Braut Beatrix und deren Dienerin Corinna überfallen und trotz heftiger Gegenwehr der drei (ja auch die Frauen käpften mit) wurden sie gefangengenommen und in in einen hohen Turm eingesperrt, welcher zu diesem Zwecke neu erbaut worden war.
Als die Wachen sich zurückzogen, untersuchten die drei ihr Gefängnis. Sie sahen, dass zwei Baukörbe, mit denen die Steine nach oben tranportiert worden waren, noch in greifbarer Nähe hingen und mit einem Seil verbunden an einer Rolle hingen. - Eine feste Rolle halt, an der die zwei Körbe hingen. - Nun konnte sich zwar eine oder einer oder auch zwei in so einen Korb setzen, aber dann wäre der natürlich so schnell herunter gesaust, dass die Verletzungsgefahr enorm gewesen wäre. Im letzen Licht des Tages sahen die drei noch sehr viele Steine liegen, die noch nicht vermauert waren. Albert meinte, dass die jeweils 5 kg wiegen. Also wenn nun Albert 90 kg (mit Schwert), Beatrix 50 kg und Corinna 40 kg wiegen, dann sollte es doch möglich sein, die Körbe so zu beladen, dass der Unterschied in den Körben nicht mehr als 5 kg beträgt und so mit der Aufprall so gering sei, das zum einen der Lärm recht gering sei und auch die Verletzungsgefahr minimiert würde. Das Seil war so lang, dass die Möglichkeit den oben seienden Korb in den Turm zu ziehen, gegeben war.
Schreibe eine Möglichkeit auf die Körbe mit Menschen (max. 2) und (oder) Steinen zu beladen, so dass die drei ihrem Gefängnis unverletzt entkommen können.
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Nun sehr sehr schwierig war die Aufgabe nicht, aber wahrscheinlich haben einige Dauermitmacher, das Aufschreiben gescheut, nun ja.
Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, da es am Ende nur die wichtige Bedingung gibt, den Unterschied von 5 kg in den Körben einzuhalten.
Beispiellösung von Christoph:
Als erstes den Korb mit 5kg beladen und nach unten lassen. Den angekommenen Korb mit 10kg beladen und wieder ablassen, dann wieder plus 10kg usw. bis in dem einem Korb (erstes hoch kam) 80kg drin sind und in dem der dann unten ist 85kg. Albert (der sich für am wichtigsten hält und deshalb als erstes runter will) steigt nun (nachdem die Steine rausgenommen wurden) in diesen Korb und schreitet mit einem Gegengewicht von 85kg sanft zu Boden. Unten angekommen nehmen Beatrix und Corinna die Steine oben wieder raus, bis auf einen Stein von 5kg. Dann steigt Albert aus und der Korb geht wieder runter. Albert nimmt diesen Stein dann heraus. Die beiden Frauen legen nun immer einen Stein in den Korb den Albert dann wieder heraus nimmt, bis er 85kg zusammen hat. Dann machen sie das gleiche was als erstes gemacht wurde (erst 5kg und dann immer 10kg in den ankommenden), bis der der unten ist 85kg an Gewicht hat. Sie steigen dann zusammen in den Korb und gleiten hinunter. Dort werden unten in den Korb alle Steine die schon herunter geschafft wurden gehievt. Dann steigen Beatrix und Corinna aus und der Korb wird sich irgendwo einpendeln oder auch (da die Steine ja nicht exakt gleich viel wiegen) unten bleiben oder nach oben gehen. So können sie fliehen ohne Lärm verursacht oder sich Brüche zugezogen zu haben.

Aufgabe 2

Nach der körperlich so schweren Aufgabe 1, nun wieder was für die die kleinen grauen Zellen.
In dem alten Buch von Bernd findet sich auch diese recht alte Aufgabe:
Ein Mann hinterlässt seinen drei Söhnen 17 Kamele. Zum Verlesen des Testaments gehen die drei zu ihrem Dorfrichter. Dieser verkündet folgendes. Der erste Sohn bekommt die Hälfte aller Kamele, der zweite Sohn bekommt 1/3 und der dritte Sohn 1/9 aller Kamele.
Nun fängt eine große Diskussion an. Das Testatement darf muss so angewendet werden wie es da steht, aber schlachten wollen sie die wertvollen Tiere ja auch nicht. Da hat der Dorfrichter eine Idee. Er stellt sein Kamel hinzu und nun geht die Teilung ohne jede Schlachterei ab, ja es bleibt sogar am Ende das Kamel des Richters übrig.
Wie so klappt das eigentlich?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Nun das das Testament des alten Herrn ist nicht perfekt. Werden die Erbanteile zusammengerechnet, so ergibt sich:
1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18
17 Kamele des Mannes und das Kamel des Richters ergeben 18 Kamele, die ganze Herde mit 18/18. Diese lässt sich in die gegebenen Anteile und das eine Kamel teilen. Deshalb geht dass halt so auf.
PS.: Wenn die Herde aus 35 Kamelen besteht, springt für den Richter sogar noch ein Kamel als Belohnung heraus.

Aufgabe 3

Der Opa von Bernd las neulich die Aufgabe mit den Omletts aus Serie 4 und da fiel ihm eine Aufgabe wieder ein, die im Mathebuch seiner Großmutter stand:
Eine Frau trug einen Eierkorb zum Markt. Ein Passant rannte an ihr so knapp vorbei, dass der Korb so auf die Straße fiel, dass kein Ei mehr heil blieb. Die Frau schimpfte erst mächtig, dann erkannte sie, dass es der Stadtmathematikus, der wahrscheinlich mit seinen Gedanken wieder ganz wo anders gewesen war. Er wollte ihr die Eier ersetzen und fragte wieviele Eier waren es denn. Da bekamm er folgendes zu hören.
Wenn ich immer nur 2 Eier aus dem Korbe genommen hätte, dann wäre ein Ei im Korb geblieben. Hätte ich immer nur 3 verkauft, dann wäre auch ein Ei im Korb geblieben. Genau wäre es bei 4, 5 oder auch 6 Eiern gewesen. Nur wenn ich immer 7 Eier jeweils verkauft hätte, dann wäre mein Korb leer geworden. Tja, nun war es für den Stadtmathematikus kein Problem, die Anzahl zu ermitteln. Zwar gibt es viele solche Zahlen, aber die Größe des Korbes sagte ihm, dass es nur die kleinste dieser Zahlen sein konnte. Wie viel Franc musste er bezahlen, wenn ein Ei 2 Centimes kostet?
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Die gesuchte Zahl muss zum einen bei der Division durch 2; 3; 4; 5 und 6 immer den Rest 1 lassen. Die kleinste Zahl (kgV), die durch all diese Zahlen teilbar ist, ist die 60. Die Zahl die den Rest lässt ist dann 60 +1, oder 2 * 60 + 1, ... kurz n*60 +1.
Diese Zahl muss allerdings auch durch 7 teilbar sein. Da bei sieben Zahlen mit gleichem Abstand eine durch sieben teilbar sein muss, lohnt sich das einfache Probieren mit den Kandidaten:
61 geht nicht
121 geht nicht
181 geht nicht
241 geht nicht
301 geht
Da die kleinste Zahl gesucht war, für die all diese Bedingungen gelten, ist 301 die Anzahl der Eier und da ein Ei 2 Centimes kostet, muss er 602 Centimes bzw. 6,02 Franc bezahlen.

Aufgabe 4

Bernd und sein Freund Mike waren in den Herbstferien mit Mike's Eltern unterwegs. Es war eine Art Rundtour in Sachsen. Am dritten Tag sollte eine Radtour für die Jungs sein. Der Start war in A und sollte nach genau 100 km in B enden. Die Eltern fuhren mit dem Auto schon mal voraus, weil sie sich in B ein Museum anschauen wollten, wo zu Mike und Bernd sowieso keine Lust hatten. Kurz vor 9.00 Uhr starteten sie und mit 20 km/h brausten sie dahin. Es kam wie es kommen musste nach einer Stunde ging Mike's Fahrrad kaputt. Nach dem Sie kurz beratschlagt hatten beschlossen sie folgendes: Wir schließen das kaputte Fahrrad an. Dann fährt Bernd eine Stunde mit dem Rad und läuft weiter. Mike läuft bis zu dem abgestellten Rad, dann fährt er eine Stunde mit dem Rad und lässt es wieder stehen ... Wann ist die Tour in B zu Ende (Ende zählt, wenn beide da sind), wenn die restlichen 80 km um 10.00 Uhr in Angriff genommen werden und der Fußgänger 5 km/h schafft? Wären Sie mit einer 2-Stunden Radzeit oder 1/2-Stunden Radzeit besser gekommen?
Zu erreichen sind 6 Punkte.
PS.: Die Eltern machten sich ziemliche Sorgen, weil es so lange dauerte, da die Jungs aber kein Handy mit hatten, waren Sie nicht erreichbar, aber Ende gut alles gut. Das Fahrrad wurde dann am nächsten Tag geholt und repariert.

Teil 1:
Bernd fährt eine Stunde (20 km), wenn er danach 4 Stunden läft (20 km), schafft er so in 5 Stunden 40 km.
Mike läuft 4 Stunden (20 km), dort ist das Rad und fährt danach eine Stunde (20 km), so schafft auch er in 5 Stunden 40 km.
Also haben sie nach 5 Stunden, die halbe Strecke absolviert und die Ausgangsbedingungen liegen vor.
D. h. sie brauchen für die 80 km genau 10 Stunden, kommen zur gleichen Zeit an und die Eltern sind erleichtert.
Teil 2: Es ändert sich nichts an der Zeit, 2 Stunden Rad (40 km) + 8 Stunden laufen (40 km) bzw. umgekehrt für Mike, macht wieder 10 Stunden.
Teil 3: Es ändert sich wieder nichts an der Zeit, 0,5 Stunden Rad (10 km) und 2 Stunden laufen (10km) für Bernd, entsprechend umgekehrt für Mike. Das Ganze 4-Mal, ...
Die eine Stunde vom Anfang kann man dazurechnen oder auch nicht, dass ändert ja nichts am Prinzip.
Ist im ersten Moment schon erstaunlich.

Aufgabe 5

Bernd hat in seinem alten Buch wieder eine sehr alte Aufgabe gefunden:
Ali und Bobo sind in einer Oase und treffen dort auf den Kaufmann Chalim. Dieser hat zwar viel Geld, aber kein Brot. Ali dagegen hat 5 Brote und Bobo hat 3. Ich gebe Euch am Ende der Reise 8 Goldstücke, wenn wir die Reise glücklich überstehen. Abgemacht.
Nach 8 Tagen erreichen Sie abgekämpft, das Brot hat genau gereicht und jeder hat unterwegs die gleiche Menge gegessen.
Chalim gibt ihnen - wie versprochen - die 8 Goldstücke. Mit der Verteilung 5 Goldstücke für Ali und 3 für Bobo ist Ali nicht einverstanden. Sie gehen zu dem schlauen Dorfrichter, der überlegt eine Weile und gibt dann dem Ali recht.
Welchen - mathematisch richtigen - Vorschlag macht der Dorfrichter, *welches wäre der - menschlich richtige - Vorschlag?
Für den mathematisch richtigen Vorschlag soll es 4 Punkte geben und von mir aus auch einen Extrapunkt für *.

Die acht Brote werden auf drei Leute verteilt, das ergibt 8 = 24/3. Jeder isst 8/3. Damit gibt Ali von seinen 5 Broten (15/3) sieben Stücke und Bobo von seinen 3 Broten (9/3) nur eins. Mathematisch gesehen stehen Ali also 7 Goldstücke und Bobo nur 1.
Menschlich wäre wohl eher, dass sich die beiden das Geld 4 : 4 teilen, schließlich haben sie ja beide das Brot geteilt, verzichten sollten sie auf das Geld nicht, denn schließlich kam ja der Vorschlag vom Kaufmann Chalim selber.

Aufgabe 6

Bernds Mutter hat 21 Gläser für das Einkochen von Marmelade eingekauft. Da Sie die Früchte aus dem Garten immer frisch verarbeitet hat, sind manche Gläser voll und andere nur halbvoll. Als Sie jetzt nachzählte, stellte sie fest, es waren genau 7 volle Gläser, 7 waren halbvoll und 7 Gläser waren leer geblieben. Das erinnerte sie an eine Aufgabe aus dem Buch "Beremis, der Zahlenkünstler". Diese lautete bezogen auf die Gläser so, wie kann ich die Gläser auf drei Regale verteilen, so dass in jedem Regal gleich viele Gläser und gleich viel Marmelade untergebracht wird? Der Inhalt der Gläser darf nicht verändert. werden.
Bernd brauchte recht lange für die Lösung, aber für 4 Punkte kann man sich schon mal anstrengen oder?

Ausgehend von der Marmelade - 7 volle und 7 halbvolle Gläser - ist eine Zahl von 21/2 vollen Gläsern auf drei Regale zu verteilen, also pro Regal 7/2 Gläser in je sieben Gläsern .
Folgende Lösungen wurden gefunden, eine war nur verlangt.
v- steht für voll, h für halbvoll und l für leer
1. 3v, 1h, 3l + 3v, 1h, 3l + 1v, 5h, 1l
2. 3v, 1h, 3l + 2v, 3h, 2l + 2v, 3h, 2l
Beide Lösungen entsprechen der Aufgabenstellung. Es sind, abgesehen von der Reihenfolge, auch alle.

Aufgabe 7

Im Nachbarhaus von Bernd ist vor 4 Wochen eine neue Familie eingezogen. Oh, das sind ja noch mehr Kinder als bei uns, dachte sich Bernd als er sie beim Spaziergang traf. Er unterhielt sich mit ihnen und dachte, schön, da sind einige dabei, mit denen werde ich wohl ab und spielen können. Natürlich nur mit den großen, denn Kindergartenniveau, also nein. Umso erstaunter war er, als der kleine Klaus Mike erzählte, er hätte genauso viele Schwestern wie Brüder und seine 5--jährige Schwester Maxi schlagfertig meinte, ätsch, ich habe doppelt so viele Brüder wie Schwestern. Ganz schön pfiffig die Kleinen. Sie hatten ja recht.
Wie viele Kinder (Brüder und Schwestern) sind in der Familie?
Zu erreichen sind auch hier 4 Punkte.

Klein aber, oho. Allerdings bezogen auf die Schlagfertigkeit, nicht die Anzahl der Kinder.
Die Lösungsvariante als Gleichungssystem zeigt, dass es genau eine Lösung gibt. Es sei hier aber auf eine mehrfachfach verwendete inhaltliche Vorgehensweise verwiesen:
Die Aussage, ich habe doppelt so viele Brüder wie Schwestern von Maxi zeigt automatisch, dss die Zahl der Jungen eine gerade Zahl sein muss. Also 2; 4; 6 usw.
2 Jungen würde aus der Sicht von Klaus bedeuten, er hätte einen Bruder und eine Schwester, also Maxi, die dann allerdings keine Schwester hätte Widerspruch
4 Jungen würde aus der Sicht von Klaus bedeuten,er hätte 3 Brüder und müsste also auch 3 Schwestern haben. Maxi hätte dann 4 Brüder und zwei Schwestern. Alle Bedingungen erfüllt.
Die Familie hat sieben Kinder, davon 4 Jungen und 3 Mädchen.

Aufgabe 8

Die sieben Kinder aus dem Nachbarhaus - die Familie heißt ü,brigens Mimlitt - sowie Bernd und seine beiden Schwestern stellen sich entlang einer gerade Linie in jeweils 10 Meter Entfernung voneinander auf. Mike testet die Genauigkeit aus, in dem er vom ersten bis zum 10. läuft. Er zählt seine Doppelschritte aus und da er weiß, dass ein Doppelschritt 1,50 m entspricht, ist die Überprüfung kein Problem. Die Entfernungen stimmen und tja wie viele Doppelschritte ist Mike denn nun gegangen?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Nun schwierig war es nicht, aber ein kleiner Holperer hat sich schon eingestellt bei einigen.
Bei 10 Menschen sind es 9 Abstände, also 90 Meter. Da ein Doppelschritt 1,50 m lang ist, sind es genau 60 Dopellschritte.

Aufgabe 9

Weihnachten steht vor der Tür und Bernd träumt von seinem neuen Fahrrad. So plant er schon mal eine Einweihungstour. Dies soll eine Rundtour werden. Er wohnt in A-Hausen. Die Tour soll durch B-dorf, C-Hütte, D-rode und E-leben führen und bei ihm zu Hause ene. Als er auf seine Radwanderkarte schaut, stellt Bernd fest, dass es von jedem der Orte eine Verbindung zu einem der anderen Orte gibt. Er kann also eine Tour ABCDEA genau so machen wie AECDBA usw. Wie viele solche Touren gibt es, wo er durch jeden Ort genau einmal fahren will?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Die recht hohe Punktzahl gab es diesmal u.a. für die nicht so komplizierte Erkenntnis, dass es ja eigentlich nur um die Zwischenorte ging. Es kam also darauf an, herauszufinden wie viele Möglichkeiten es bei der Kombination der Ort B, C, D, E gab. Nur zwei Teilnehmer haben sich verwirren lassen.
Eine der vielen Varianten sei hier aufgezeigt:
Von A-Hausen hat Bernd vier Möglichkeiten, wenn er dann in einem der vier Orte ist, hat er noch 3 Möglichkeiten, also sind es bis dahin 4*3. Im dritten Ort hat er dann in jedem Fall noch 2 Möglichkeiten, also sind es bis dahin 4*3*2. Hat er dann den dritten Ort erreicht, gibt es nur noch eine Möglichkeit und von dem ort fährt er dann nach Hause.
Damit steht fest, es gibt genau 24 Möglichkeiten.

Aufgabe 10

Bernd stöbert im Internet, da findet er beim Chemnitzer Schulmodell in einem alten Weihnachtskalender eine interessante Aufgabe:

Einstein's Weihnachtsrätsel

Gehörst Du zu den 2% der intelligentesten Personen auf der Welt?

Es gibt KEINEN Trick bei diesem Rätsel, nur pure Logik. Also: Viel Glück und gib nicht auf!

01. Es gibt fünf Häuser mit je einer Farbe.
02. In jedem Haus wohnt eines der Kinder.
03. Jeder Hausbewohner bevorzugt ein bestimmtes Getränk, isst eine weihnachtliche Spezialität und hält ein bestimmtes Haustier.
04. KEINES der 5 Kinder trinkt das gleiche Getränk, isst die gleiche Spezialität oder hält das gleiche Tier wie einer seiner Nachbarn.
05. Der Artikel „der“ ist kein Hinweis auf das Geschlecht.

Frage: Wem gehört der Fisch????

Die Hinweise:

01. Paul lebt im roten Haus.
02. Maxi hält einen Hund.
03. Friedrich trinkt gerne Tee.
04. Das grüne Haus steht direkt links vom weißen Haus.
05. Der Bewohner des grünen Hauses trinkt gerne Limo.
06. Das Kind, das die Brezel isst, hält einen Vogel.
07. Das Kind, das im mittleren Haus wohnt, trinkt gerne Milch.
08. Der Bewohner des gelben Hauses isst Stollen.
09. Max wohnt im ersten Haus.
10. Der Pfefferkuchen-Esser wohnt neben dem, der eine Katze hält.
11. Das Kind, das ein Pferd hält, wohnt neben dem, der Stollen isst.
12. Der Apfelsinen-Esser trinkt gerne Cola.
13. Neben dem blauen Haus wohnt Max.
14. Pauline isst Walnüsse.
15. Derjenige, der Pfefferkuchen isst, hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt.

Das Weihnachtsrätsel entstand nach der Vorlage des nach Einstein verfassten Rätsels. Er behauptete, 98% der Weltbevölkerung seien nicht in der Lage, es zu lösen. Viel Spaß!!!

Kleiner Tipp: Es hilft sich die Häuser in einer Reihe vorzustellen, auch wenn dies nicht explizit erwähnt wird.
Bernd knobelt und weil Weihnachten vor der Tür steht darf er sich auch Zeit lassen.
Wer die komplette richtige Lösung - also mit Begründung - herausfindet, kann sich sich über 10 Punkte freuen. Nur die Angabe der Lösung, nun das sind dann 4 Punkte.
Ein Frohes Fest und einen guten Rutsch.

Es haben leider wieder einige trotz richtiger Lösung nicht die volle Punktzahl erreicht, da der Lösungsweg fehlt, schade.
Vielen Dank für die sehr ausführlichen Lösungen. Allerdings musste man sich beim Aufschreiben doch ganz schön konzentrieren. Eine günstige Variante war so ein Schema wie es beim Logiktrainer benutzt wird.
Dass es auch ohne eine solch komplizierte Tabellenform geht zeigten andere Varianten, ich stelle hier die Varinate von Doreen Naumann vor, vielen Dank.
Lösung Aufgabe 10:

-> nach Hinweis 6 im 3.Haus Brezel und Vogel

War eigentlich gar nicht schwer.

Finde ich auch, Thomas

Aufgabe 11

Bernd hat in den Zwischentagen mit seiner Oma ferngesehen. Da gibt es einen Sender, der andauernd irgendwelche Fragen stellt und die Leute dazu bringen will, das sie anrufen. Viele der Fragen sind sehr einfach, so dass man sich gar nicht traut, sie zu nennen, aber bei einer hat Bernd denn doch gestutzt und dann kam das AHA-Erlebnis.
Marias Vater hat fünf Töchter. Folgende Namen wurden genannt:

ANNA , BETTINA, CELIA und DAMARIS

Nur wenige lißen sich für kurze Zeit irritieren und kamen auf die richtige Antwort.
Es war Maria, denn ihr Vater hat fünf Töchter, von denen ungerechterweise nur vier noch einmal genannt werden, also ist sie die fünfte.
So viele Mails zu einer Aufgabe gab es noch nie.

Aufgabe 12

Bernd liest Mike einen Aufsatzentwurf vor:
Edeltraut aus Endover saß einsam im Wald. Sie war verzweifelt. Sie beobachtete die Vögel. Da kam ihr ein schönes Lied in den Sinn. Sie benutzte Ihre Mundharmonika und spielte die Melodie nach. Theo hörte es und sang dazu. Elfengleich klang es durch den Wald.
Danach fragte Theo sie nach der Hausaufgabe, die Elvi, er und Edeltraut bis zum nächsten Tag zu erledigen hatten. Wenn wir hier noch Zehn Minuten sitzen, macht es auch nichts, dass schaffen wir schon. ...
Mike sagte zu Bernd also in Mathe bist du deutlich besser, da wirst du wohl noch mal anfangen müssen, aber als Zahlenversteck ist die Story gut. Ich habe einige Zahlen entdeckt, sogar über Wortenden hinweg.
Schreibe die Zahlen der Reihe nach heraus und ermittle die Summe.
Zu erreichen sind 4 Punkte.