Serie 53

Aufgabe 11

635. Wertungsaufgabe

„Unser Lehrer hat uns von einer Neujahrsformel erzählt“, berichtete Maria ihrem Bruder. „Berechnet er, wann das neue Jahr beginnt?“ „Nein, er hat die Formel am 1.1.2020 entdeckt.. Es geht um Flächeninhalte bei „Fadengrafiken“.
In einem Koordinatensystem (01=1 cm)werden Strecken eingetragen. Auf den Bildern sieht man die Beispiele n = 1, n=2 und n=5. Die äußeren Schnittpunkte in jedem Quadranten und die n-ten Punkte auf der Achse bilden ein schönes Vieleck. Der Flächeninhalt einer schönen Fläche lassen sich mit der Neujahrsformel A = 2/3 * n *(n+2) berechnen.

Wie groß ist der Umfang der Fläche für n = 2? Vollständige Berechnung 6 blaue Punkte.
Beweis der Richtigkeit der Neujahrsformel für beliebige n (n >0) 12 rote Punkte.

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 26.03.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 26.03.1920. Deadline for solution is the 26th. March 2020. Date limite pour la solution 26.03.2020. Soluciones hasta el 26.03.2020. Beadási határidő 2020.03.26.

hun

„A tanárunk egy új Újévi képletről beszélt” – mondta Mária a testvérének. „ Kiszámolja, mikor kezdődik az újév? „ „Nem, az 1.1.2020 képletet fedezte fel. A fonalgrafikon területéről van szó.”
Egy koordináta rendszerben (01=1 cm) szakaszokat veszünk fel. Az ábrán például az n = 1, n=2 és n=5 képét láthatjuk. A külső metszéspontok minden negyedben és a tengelyek n-edik pontjaban egy-egy szép négyszöget alkotnak. A területe egy szép felületnek az Újévi képlettel A = 2/3 * n *(n+2) számolható ki.

Mekkora a kerülete és a területe, ha n = 2? Számítás 6 kék pont. Az Újévi képlet bizonyítása tetszőleges n (n >0) esetén 12 piros pont.
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Notre professeur nous a parlé d'une formule du Nouvel An", a expliqué Maria à son frère. "Calcule-t-il quand la nouvelle année commence?" "Non, il a découvert la formule le 1er janvier 2020. Il s'agit du domaine des" graphiques de fils ".
"Les lignes sont saisies dans un système de coordonnées (01 = 1 cm). Tu peux voir les exemples n = 1, n = 2 et n = 5 sur les images. Les intersections extérieures dans chaque quadrant et les n-ièmes points sur l'axe forment un joli polygone. La superficie d'une belle région peut être calculée en utilisant la formule du Nouvel An A = 2/3 * n * (n + 2).

Quelle est la taille de la zone pour n = 2? Calcul complet 6 points bleus.
Preuve de l'exactitude de la formule du Nouvel An pour n (n> 0), 12 points rouges.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

esp

“Nuestro profesor nos ha contado de una fórmula del Año Nuevo”, le contó María a su hermano. “¿Calcula, cuándo empieza el Año Nuevo?” – “No, ha descubierto la fórmula el 1.1.2020. Se trata de áreas en gráficos de líneas.”
Se marcan líneas en un sistema de coordenadas (01=1cm). En los imágenes se ve ejemplos n=1, n=2 y n=5. Los puntos de intersección exteriores en cada cuadrante y los puntos n al eje forman un polígono hermoso. Se puede calcular el área de este plano hermoso con la fórmula del Año Nuevo A= 2/3*n*(n+2).

¿De qué tamaño es el perímetro del plano para n=2? Para el cálculo completo se recibe 6 puntos azules.
Para la prueba de la exactitud de la fórmula del Año Nuevo para cualquiera n (n>0) se recibe 12 puntos rojos.
Dimostrazione della correttezza della formula di capodanno per qualunque n (n > 0) – 12 punti rossi
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„Our teacher told us about a formula for ‘New Years Eve’ “, Maria told her brother. „Does is calculate when the new year starts?“ „No, he found the formula on the 1st January 2020. It is about the area of so called „thread graphics“.“
Line segments are drawn into a coordinate system (01=1 cm). On the pictures you can see the examples n = 1, n=2 und n=5. The outer points of intersections in each quadrant and the n-points on the axis form a nice polygon. The area can be calculated by using the “New Years Eve” formular A = 2/3 * n *(n+2).

How big is the perimeter for n = 2? Complete the calculation – 6 blue points.
Proof that the „New Year Eve“ formular is true for each n (n >0) – 12 red points.
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Nostro insegnante ci ha parlato di una formula di capodanno”, Maria raccontava a suo fratello. “Ha calcolato quando inizia l’ anno nuovo?”. “No, ha scoperto la formula il 1.1.2020. Tratta di superficie di “grafiche di filo”.”
In un Sistema di coordinate (01=1 cm) vengono inseriti segmenti. Qui sono illustrati gli esempi n = 1, n = 2, n = 5. I punti di intersezione esterni in ogni quadrante formano insieme ai punti ennesimi sulle asse un bel poligono. La sua superficie si calcola secondo la formula di capodanno: A = 2/3 * n * (n+2).

Qual’ è la misura della circonferenza del poligono nel caso n = 2? (Calcolazione completa: 6 punti blu)

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Drei (wie passend) Einsender haben in Einsendung explizit die Dreieckszahlen erwähnt: Hier ein Bild dazu von Aufgabe 453:

Als ich mit der Fadengrafik beschäftigt habe, stellte ich mit Verwunderung fest, dass die Flächeninhalte der "schönen" Fläche, meist ganzahlig waren. So machte ich mich auf den Weg den Zusammenhang zwischen n und dem Flächeninhalt zu erkunden und das, ohne (erst einmal) auf Schnittpunktsberechnungen zurückzugreifen. Untersucht habe ich dabei immer nur einen Quadranten, das mal 4 nun ja. Als ich die Teildreiecke in einem solchen Quadranten  mir anschaute sah ich plötzlich den Zusammenhang. Für n gibt es natürlich n Dreiecke. Deren Flächeninhalte (von außen nach innen, von klein nach groß) in Quadratzentimeter ließen sich wie folgt notieren und dann zu A addieren: a₁/n+1) + a₂/(n+1) + a₃/(n+1) ... + a_n/n+1)= A Dabei sind die Zähler a die Dreieckszahlen als {1; 3; 6; 10; 15;...} Nun musste nur noch die Summenformel für Dreieckszahlen benutzt werden und dann * 4. Damit war die obige "Neujahrsformel" gefunden, entdeckt am 1.1.2020 am Nachmittag.
Hier nun verschiedene Ansätze von Lösern, danke. Birgits rote Aufgabe --> pdf <--, Karlludwig --> pdf <-- und Paulchen --> pdf <--