Serie-7

Aufgabe 2

Bernd und Mike haben in einer Vertretungsstunde ein paar kuriose Zahlen mit dem Taschenrechner bearbeiten müssen, die nach dem Wurzelziehen (Quadratwurzel) überraschende Ergebnisse aufwiesen.
So ist Wurzel aus 121 = 12 -1 oder
Wurzel aus 256 = 2 ^. 5 + 6 oder gar
Wurzel aus 11881 = 118 - 8 - 1
Das letzte ließ sich ja dann auch so schreiben: Wurzel aus AABBA = AAB - B - A
Zwei Aufgaben bekamen sie als freiwillige Hausaufgabe, der Ehrgeiz war entfacht, wer wohl von den beiden als erster beide Rätsel knacken würde.
Finde je eine Lösung für:
Wurzel aus ABCD = A + BC + D und
Wurzel aus DEFA = D ^. E ^. F + A
Gleiche Buchstaben bedeuten gleiche Ziffern, verschiedene Buchstaben verschiedene Ziffern.
(Tipp: 2 ^. A = 3 ^. D)
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Der Tipp besagt, dass A = 1,5 * D, das heißt, D muss eine gerade Zahl sein. Mögliche Paare (A;D) sind dann (3;2), (6;4) und (9;6). Als letze Ziffer von Quadratzahlen gibt es von 0*0 bis 9*9 die Ergebnisse 0; 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 und 1. Die Zwei als letzte Ziffer tritt nicht auf, also entfällt das Tipppaar (3;2). Damit lohnt es sich jetzt die Quadratzahlen zwischen 6.000 und 7.000 die auf 4 enden bzw. zwischen 9.000 und 10.000 die auf 6 enden mal aufzuschreiben:
78² = 6084
82² = 6724
96² = 9216
Auf Grund der Endzifferregel sind das gar nicht so viele.
Die Zerlegung von Wurzel ABCD führt jetzt ganz schnell zu der einzig möglichen Lösung:
6724, denn nur hier gilt: Wurzel aus 6724 = 82 = 6 + 72 + 4.
Von DEFA ist nun bekannt: 4EF6. Schnell die Kandidaten zwischen 4.000 und 5.000.
64² = 4096
66² = 4356 mehr Kandidaten gibt es nicht, der erste entfällt wegen der Null.
Die einzige Lösung ist: Wurzel aus 4356 = 66 = 4*3*5 + 6.
Kleiner Tipp große Wirkung.
PS.: Es wurde auch Wurzel aus 1296 = 1 + 29 + 6, eine Lösung für den Typ Wurzel ABCD = A + BC + D, wenn er ohne den Tipp A = 1,5 * D betrachtet wird. Wer Lust hat, mag mal untersuchen wie viele Lösungen es insgesamt gibt, wenn nur die Verschiedenheit der Buchstaben Bedingung ist.