Serie-15

Aufgabe 12

180. Wertungsaufgabe
Bernd und Mike sitzen zwei Tage nach Mikes Kinobesuch wieder zusammen. Das Blitzen in den Augen Mikes sagt eigentlich alles, so dass Bernd sich jeden Kommentar verkniff. Haben die Leute aus der Gruppe von Maria und Lisa eigentlich die Sitzgruppenaufgabe herausbekommen, aber klar doch. Zur Zeit plagen die sich mit armen und reichen Zahlen ab. Was war das gleich noch mal? Nun eine natürliche Zahl gilt als arm, wenn die Summe ihrer echten Teiler kleiner ist, als die Zahl selbst - also alle Primzahlen, stimmt genau. Reich dagegen ist eine Zahl, wenn die Summe ihrer echten Teiler größer ist, als die Zahl selbst. Alles klar. Das ist ja nicht schwerig zu ermitteln oder? Nein, das nicht, aber sie haben noch keine ungerade reiche Zahl gefunden. Was sollte es da keine geben? Klar es gibt welche, aber die muss größer als 931, denn bis dahin haben sie es in der Gruppe schon probiert. (Na, wenn sie die kleinste ungerade reiche Zahl herausfinden, dann könnte man für die Anstrengung - systematisch den Reichtum ermitteln - durchaus 6 blaue Punkte vergeben).
Lisa hat mir noch von einer Aufgabe erzählt, die ihr Mathelehrer gestellt hat. Lass hören. Also die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks sei 0,9 cm. Die Katheten sind a und b. Zu untersuchen ist, welcher der vier Terme der kleinste ist. (a+b)², a²+b², a+b oder a*b. Möglicherweise ist aber auch 0,9 kleiner als die vier Terme. Ist noch etwas bekannt. Nein, der Lehrer meint, das könne man trotzdem entscheiden.
Na mal sehen, ob da jemand die 8 Punkte erringt.

Lösung

Lösung von XXX, danke.
Katheten a, b Hypotenuse 0,9
Wir betrachten die vier gegebenen Terme und vergleichen sie absolut:
a + b > 0,9 (Dreiecksungleichung)
(a+b)² > 0,9² = 0,81
a²+b² = 0,9² = 0,81 (Pythagoras)
a*b <= 0,405 (doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, welches Grundlinie (c) 0,9 und Höhe maximal 0,45 (Radius des Thaleskreises) hat )
Der Term a*b ist als mit Sicherheit am kleinsten.
Hier noch Übelrlegungen von Andree (Auszug der sehr umfassenden Lösung), danke

Es gilt (Pythagoras): 0,9² = a² + b², also

Nun hat Andree in den 4 Termen:

1. (a+b)²

2. a²+b²=0,81

3. a+b

4. a*b

das b durch ersetzt und seine Überlegungen entsprechend denen von XXX dargelegt. Ergänzt wurde das durch die graphische Darstellung.

Beispiel Term 3

a +b = a + wird zu

b =

mit b=y und a =x entsteht dann der Graph für den 3. Term. Entsprechend für die anderen Terme.

Zu testen sind die Zahlen 933, 935, 937, ...
1 und 933 sind Teiler von 933
3 und 311 sind Teiler von 933
Die Summe der echten Teiler der Zahl 933 betr�gt 315, also arm
1 und 935 sind Teiler von 935
5 und 187 sind Teiler von 935
11 und 85 sind Teiler von 935
17 und 55 sind Teiler von 935
Die Summe der echten Teiler der Zahl 935 beträgt 361, die Zahl ist arm
937, Primzahl
1 und 939 sind Teiler von 939
3 und 313 sind Teiler von 939
Die Summe der echten Teiler der Zahl 939 beträgt 317, die Zahl ist arm
941, Primzahl
1 und 943 sind Teiler von 943
23 und 41 sind Teiler von 943
Die Summe der echten Teiler der Zahl 943 betr¨gt 65, die Zahl ist arm
1 und 945 sind Teiler von 945
3 und 315 sind Teiler von 945
5 und 189 sind Teiler von 945
7 und 135 sind Teiler von 945
9 und 105 sind Teiler von 945
15 und 63 sind Teiler von 945
21 und 45 sind Teiler von 945
27 und 35 sind Teiler von 945
Die Summe der echten Teiler der Zahl 945 beträgt 975, die Zahl ist reich