Serie-15
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Aufgabe 5
173. Wertungsaufgabe
Nach dem Spaziergang sitzen Mike und Bernd vor einem Blatt auf dem bis jetzt erst einmal nur ein Kreis zu sehen ist. Also wie war das: Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in einem Punkt berührt, genau. Es gibt dann noch Sekanten und Passanten. Die Sekanten gehen durch den Kreis und die Passanten gehen am Kreis vorbei. Na gut, da zeichne ich mal so eine Tangente ein. Besser du konstruierst sie. Das geht ja ganz einfach. Du zeichnest einen Radius zu dem Punkt wo die Tangente den Kreis berühren soll, verlängerst den etwas und dann konstruierst du in dem Berührungspunkt eine Senkrechte zu dem Radius und schon hast du die gesuchte Tangente. Berührungsradius und Tangente stehen nämlich senkrecht zueinander. Alles klar. Da es unendlich viele Radien gibt, gibt es auch unendlich viele Tangenten. Ah, verstehe, dann ist der Umfang des Kreises die Länge einer Kurve (Linie oder wie auch immer) durch die alle Tangenten eines Kreis verlaufen. Na klar, ich kann aber auch einfach eine Kurve um den Kreis zeichnen - wie ein Springseil um eine Frisbeescheibe - durch die alle Tangenten verlaufen. Dann ist doch so eine Seilkurve länger als der Umfang, zumindest wenn es locker drum liegt. Ja, da hast du recht. So und nun kommt es, dass Seil kann sogar kürzer sein als der Umfang und trotzdem gehen alle Tangenten durch das Seil, also die Kurve. Wie lang ist die kürzeste Kurve eines Kreises mit dem Radius von 10 cm, die alle Tangenten wenigstens berührt?
Die vollständige Herleitung der Länge (ein echter Beweis ist schwierig) bringt 8 Punkte und die dann mögliche Berechnung noch einmal 2.
Lösung
Als erstes wird erst einmal das gemacht, was auch Bernd und Mike getan haben.
Auf dem ersten Bild ist also ein Kreis, an dem eine Tangente und ein Faden durch den mit Sicherheit alle Tangenten gehen müssen.
Nun kann man mit mit genau so großer Sicherheit einen Teil des Fadens abschneiden und es entsteht das Bild 2:
Das geht natürlich deutlich kürzer, wenn ma den Faden straff zieht, also ensteht Bild 3. (Wobei der Faden am Kreis anliegen muss, also nicht durch den Kreis geht - Zeichenungenauigkeit
Nun erschließt sich, dass der Faden nicht schräg zur Tangente, sondern logischerweise senkrecht darauf enden muss. Die Zeichenungenauigkeit - Faden darf nicht durch den Kreis, bitte ich zu entschuldigen.
Die Berechnung ist nun nicht mehr schwer. Benutzt wird hier die Variante von Christian und Malte, vielen Dank.
Kürzer geht es nicht, wenn man von einer ununterbrochenen Kurve ausgeht.
In zwei Antworten fanden sich Überlegungen zur Länge einer aus mehreren Teilen bestehenden Kurve, hier das Bild von XXX mit der nicht mehr zu unterbietenden Länge von 3r - für das Beispiel hier also 30 cm
