Serie-15
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Aufgabe 6
174. Wertungsaufgabe
Da kannst du mal sehen, mit so einer Schlinge der letzten Woche lassen sich ganz geschickt Tangenten fangen, meinte Bernd. Na ja, ich habe ja gesagt, wenn man macht was wir schon ausprobieren, dann schaffen das auch andere. Obwohl leicht oder schwer, das sieht wohl jeder anders, entgegnete Mike. Da ist was dran
Was malst du den für Kringel. Ganz einfach, beider ersten Figur mal ich drei kleine Kreise - keine Kringel! -, so dass sie ein gleichseitiges Dreieck ergeben, dann setzte ich auf die Dreieckseiten noch die blauen Kreise, damit standesgemäß jede Dreieckseite aus drei Kreisen besteht.
Bei meinem zweiten Bild nehme ich 4 schwarze Kreise oder sie regelmmäß - also im Quadrat - an und setze dann jeweils zwei Kreise auf die Quadratseiten, so dass wieder standesgemäß jede Quadrat- (Vierecks-) seite eben 4 Kreise hat.
Verstehe, ein standesgemäßes Fünfeck hat dann 5 schwarze Kreise und auf jeder seiner Seite insgesamt 5 Kreise, genau. Das sind dann ... (1 Punkt) und bei einem beliebigen n-Eck sind das x Kreise (2 Punkte)
So das war ja nur Spaß. Jetzt geht es richtig los, erst einfach und dann mit einem Ruck, wie jetzt, pass nur auf.
Schreibe in die Kreise des obigen Dreiecks jede der Zahlen von 1 bis 6 so hinein, so dass sich auf jeder der Dreiecksseiten die gleiche Summe ergibt (1 Punkt). Na, das ist doch einfach, na dann weiter.
Schreibe in die Kreise des obigen Quadrats die Zahlen von 1 bis 12 (jede genau einmal), so dass sich auf jeder der Quadratseitenseiten die gleiche Summe ergibt (2 Punkte). Schon schwieriger - sag ich doch.
Finde die kleinstmögliche und die größtmögliche Seitensumme des Quadrates heraus (2 Punkte)
Gibt es für jedes solcher standesgemäßen n-Ecke Lösungen, wenn man in die Kreise die Zahlen von 1 bis x (jede natürlich genau einmal) einträgt. (Wenn ja, dann finde die kleinstmögliche und die größtmögliche Seitensumme, wenn nein, dann begründe, warum es nicht geht - 4 Punkte)
Lass mich mal nachrechnen, da kann man ja bis zu 12 Punkten bekommen. Stimmt ist doch cool, da kann man glatt etliche in der Liste überholen. Das geht aber nur, wenn die sich überholen lassen.
Lösung
Ein Beispiel für das Dreieck.
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1 |
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6 |
5 |
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2 |
4 |
3 |
Das Fünfeck hat 5 schwarze Kreise und auf jeder der 5 Seiten noch 3 blaue Kreise.
Also 5 + 5 * 3 = 20
Viereck:
Vor den Beispielen erst einmal die Überlegungen für die Größe und kleinste Seitensumme. Es werden alle Zahlen von 1 bis 12 addiert, wobei die Zahlen in den Ecken doppelt auftreten. Die Summe der Zahlen von 1 bis 12 ist 78. Werden in die Ecken die Zahlen 1, 2, 3 und 4 geschrieben so erhöht sich die Summe auf 88. Dies ist die Summe für vier Seiten, also ist die kleinste Summe 88:4 --> 22. Die größte Summe ist dann mit den Ecken 9, 10, 11 und 12 erreichbar. 78+9+10+11+12= 120 Dann 120:4 --> 30 als maximale Seitensumme.
Das Beispiel mit den größten Zahlen:
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9 |
3 |
8 |
10 |
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5 |
2 |
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4 |
7 |
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12 |
6 |
1 |
11 |
Nun zum n-Eck
Schwarze Kreise sind es n, dazu kommen auf n Seiten n-2 blaue Kreise. Das sind insgesamt n + n(n-2) = n + n² -2n = n²-n
Es ist also die Summe aller natürlichen Zahlen von bis n²-n zu bilden, dazu kommt die Summe der n – Zahlen in den Ecken. Wird diese Gesamtsumme durch die Seitenzahl n dividiert, so hat man die Summe auf den einzelnen Seiten.
Es wird nun geschickt mit der Summenformel für die „ersten“ natürlichen Zahlen hantiert. (Die soll, wie auch Annika bemerkt hat, der kleine Gauß ja schon so nebenbei entdeckt haben.)
Für die minimale Seitensumme wird die Summenformel verwendet m=n²-n und dazu kommt die Summe von 1 bis n für die Ecken hinzu:
Ist n gerade, so ist der Zähler gerade, da er nur aus geraden Zahlen gebildet wird. Ist n ungerade, so kommt zum ungeraden n³ noch das Ungerade von 3n dazu, das ist also gerade, das 2n² ist sowieso gerade, also ist der Zähler wieder eine gerade Zahl. Damit ist die so bestimmte minimale Seitensumme auch wirklich eine natürliche Zahl.*
Nun die größte Seitensumme:
Für die minimale Seitensumme wird die Summenformel verwendet m=n²-n und für die Ecken greife ich in die Trickkiste doppelt von der Summe von m1 = n²-n ziehe ich ein m2 = n² -n – n ab, denn bei m1 – m2 bleibt ja dann die Summe der letzten n Zahlen übrig. Natürlich muss ich dann wieder durch n dividieren.
Gemäß der obigen Überlegungen* ist der letzte Ausdruck immer eine natürliche Zahl.
Interessant finde ich, dass die Formel für die maximale Seitensumme letztendlich so einfach ist.