Serie-15

Aufgabe 9

177. Wertungsaufgabe
Den Kartentrick muss ich mir merken, meinte Mike, der geht ja einfach und doch wirkungsvoll. Aber bevor ich dir hier noch einen Trick verrate, musst du mir erst einmal helfen. Das soll eine uralte Aufgabe sein, aber ich weiß noch nicht so recht wie es gehen soll. Lass hören.. In ein gleichseitiges Dreieck, soll ein Quadrat hinein gezeichnet werden, dessen Ecken alle an die Dreieckseiten sto�en. Wie geht das denn 4 Ecken - drei Seiten. Man stell dich doch nicht so an, wenn zwei Ecken auf einer Seite sind und die anderen ..., Ach klar. Ich mach mir mal eine Skizze. Ist bei solchen Aufgaben immer gut. So habe ich und nun. Wenn du die Flächeninhalte beider Figuren addierst soll 20 cm² herauskommen. Also das Dreieck komplett und das Quadrat noch einmal extra, ja genau. Wie groß ist das Quadrat.
Maria, Bernds Schwester, kommt ins Zimmer und sieht die Aufgabe der beiden. Coole Sache, bloß ich brauche was anderes. Wieso das denn?. Nun, ich helfe Schülern aus den 4. bis 6. Klassen in Mathe. So langsam geht das mit den Grundaufgaben auch und so habe ich mir gedacht, so eine kleine Knobelei zur Abrundung wäre nicht schlecht. Klar warum nicht, aber da ist die mit dem Dreieck nicht so geeignet. Eben. Na gut, dann nimm doch mal die:
Es gibt drei Sorten Kugeln, die unterscheiden sich in Farbe und Masse, wobei die gleichfarbigen die gleiche Masse haben. Eine grüne Kugel ist so schwer wie zwei rote. Zwei blaue Kugeln sind so schwer wie zwei rote. Wie viele blaue Kugeln braucht man auf der linken Seite einer Waage, wenn auf der rechten Seite 3 grüne Kugeln liegen, damit die Waage im Gleichgewicht ist?
Für die obigen Aufgabe gibt es 6 Punkte und für die andere Aufgabe gibt es bis zu 4 blaue Punkte.
Ich möchte mit dieser Regelung, die Schwierigkeitsgrade differenzieren, so dass auch volle Punktzahlen durch jüngere Teilnehmer möglich sind. Jeder Teilnehmer kann sich an jeder Aufgabe beteiligen.

Lösung

Lösung Aufgabe 9 von Andree, vielen Dank

die Bilder evtl. mit rechter Maus --> Bild anzeigen

Aufgabe 1:

Im gleichseitigen Dreieck gilt:

und

damit lautet die geforderte Bedingung:

Nun muss man b mit Hilfe von a ausdrücken und anschließend die Gleichung lösen.

Nach dem Strahlensatz gilt:

h einsetzen:

Einsetzen in die Bedingungsgleichung liefert:

Anmerkung von Thomas J.:
Noch mal kurz, die Seitenlänge des Quadrates ist also nicht gleich der halben Höhe, sondern nur 0,4641... (Was ich auch nicht gleich gesehen hatte) Und beim Basteln und Zeichnen auch nicht gleich bemerkt wird.
Die Abweichung für die Kantenlänge ist demzufolge auch nicht groß.
Annahme a gleich halbe Höhe führt auf a = 2,5819889 ...
Wert aus der obigen Berechnung a= 2,57754...
Auf zwei Stellen gerundet, sind die Werte also sogar "gleich".

Aufgabe 2:

Es gilt folgende Gleichung:

= =

somit ist die Waage mit drei grünen Kugeln auf der rechten Seite im Gleichgewicht, wenn auf der linken Seite 6 blaue liegen.