Serie-18

Aufgabe 12

"Die letzten Aufgaben haben unserer Mathegruppe sehr gefallen", sagte Lisa. "Das ist doch gut, da wird es sicher mit der hier auch keine Probleme geben." "Zeig mal her." Eine Selterwasserfirma lässt vier neue Brunnen bohren. Diese vier Brunnen bilden die Eckpunkte eines 10 km großen Quadrates ABCD. Am Punkt B entsteht auch noch eine Zisterne, die das Wasser aller 4 Brunnen sammelt. Es muss also noch ein Röhrensystem gebaut werden, so dass das Wasser von allen Brunnen zum Brunnen B gelangen kann. Für 4 blaue Punkte soll die Länge eines solchen Röhrensystems ermittelt werden – mit kurzer Beschreibung, wie die Röhren verlaufen. Für 6 rote Punkte soll das mit Sicherheit kürzeste Rohrleitungssystem ermittelt werden.

Lösung

Ein solches Röhrensystem köntte von A über D und C nach B verlaufen und wäre damit 3 mal 10 km = 30 km lang.
Kürzer ist die Variante mit den Diagonalen, die in dem Punkt, wo sie sich treffen geschickt verbunden werden müssen. Mit e = Wurzel (2) * a. Ergibt sich eine Länge von 28,284 ... km.
Die wirklich kürzeste Verbindung wurde nicht entdeckt. Eine sehr gute und umfassende Erklärung findet sich hier
Mit X=Y ist der Diagonalfall mit enthalten.
Die wirklich kürzeste Verbindung aber tritt dann auf, wenn die Winkel AXD und BYC jweils genau 120° groß sind.
So nun die Rechnerei: die Seitenlänge des Quadrates sei a, die Strecke YZ sei x und Strecke CY sei l. Der Winkel CYZ ist 30° groß
tan (30°) = 2x/a --> 2x = a * tan (30°) --> 2x = a*Wurzel(3)/3
Wegen sin (30°)=1/2=x/l --> l =2x
Die Gesamtlänge der Leitung s ist 4*l + (a - 2x) --> s= 4*2x + a - 2x = 3 * 2x + a
= 3 * a*Wurzel(3)/3 + a = a*Wurzel(3) + a = a(Wurzel(3) + 1)
mit a = 10 km ergibt sich s zu 27,32 .. km. Das ist rund 3,5 Prozent weniger wie die Diagonalvariante.