Serie-18

Aufgabe 6

210. Wertungsaufgabe
"Nach den sonnigen Zeiten von letzter Woche sollten wir unsere Augen, aber nicht unsere Köpfe schonen", meinte Bernd. "Einverstanden, hast du eine Idee?", fragte Maria. "Aber klar doch, pass auf. Stell dir vor. Ein Junge aus deiner Gruppe geht in den Keller, um Limo zu holen. Dort steht ein Kasten mit 4 Orangenlimos, 3 Zitronenlimos und 2 Flaschen mit Apfelsaft. Plötzlich geht das Licht aus. Da der Junge schon vor dem Kasten steht, packt er nach Gefühl die Flaschen ein. Wie viele Flaschen muss er mindestens mitnehmen, damit er garantiert 2 verschiedene Sorten dabei hat?" (3 blaue Punkte).
Da Bernd nicht gerade leise gesprochen hatte, schaute sein Vater ins Zimmer und hörte den Rest der Aufgabe mit. "Da habe ich auch etwas Verdunkeltes für euch." Er zeichnete eine Art abnehmenden Mond.

Wie viel Prozent dieser Kreisfläche sind verdunkelt, wenn die dickste Stelle der Mondsichel 1/3 des Kreisradius ist? Die Spitzen der Sichel liegen auf einem Durchmesser. "Der innere Bogen sieht elliptisch aus." "Das ist fein beobachtet." (8 Punkte)

Lösung

Da er zwei verschiedene Sorten aus dem Kasten holen soll, ist er mit 5 Flaschen auf der sicheren Seite, denn selbst wenn er wieder erwarten 4 Orangenlimos (mehr gleiche gibt es nicht) dabei hat, dann ist die 5. Flasche eben was anderes.
Anmerkung von Felix Karu: Die Wahrscheinlichkeit dafür ist nicht sehr hoch: 1/126 also unter 1 Prozent, danke
Die Chance auf zwei verschiedende Sorten bei zwei Flaschen liegt weit über 50 Prozent, aber das wahr ja nicht die Frage.
Der gesamte Kreis setzt sich aus der Mondsichel, einer halben Ellipse und einem halben Kreis zusammen.
Die gesuchte Fläche - dunkel - besteht aus der halben Ellipse und dem halben Kreis.
Fläche des halben Kreises: π/2 * r²
Fläche der halben Ellipse: π/2 * a*b (Halbachsen) mit a = r und b = 2/3r --> π/2 *2/3 * r²
Grundwert: π * r²
Prozentwert: π/2 *2/3 * r² + π/2 * r² --> π* 5/6 * r²
--> dunkle Fläche 5/6 bzw. 83,33 %.