Serie-18

Aufgabe 9

213. Wertungsaufgabe
"Also Bernd, das Osterei hat mich richtig geschafft, immer wieder hatte ich irgendwo so einen kleinen Fehler drin", jammerte Lisa, "aber ich habe es dann doch erreicht, den Flächeninhalt zu berechnen. In unserer Gruppe sind wir auch bei Flächen, speziell bei den Vierecken. Dabei sind wir auf die einfachen Formeln für den Flächeninhalt des Rechtecks (A=a*b) und des Rhombus oder auch Raute mit A=e*f/2 gestoßen. Nun haben sich einige die Frage gestellt, warum die Rhombusformel nicht auch beim Rechteck gilt (Spezialfall Quadrat mal ausgenommen)?" "Nun, so schwierig ist die Antwort nicht -- das ist dann wohl eher so eine ganz einfache 2 blaue Punkte Aufgabe. Es sei denn, ein echter Beweis auf der Grundlage der Kongruenzsätze wird noch ergänzt, der dann noch mal 4 blaue Punkte bringt", schlägt Bernd vor. "Einverstanden, aber nur, wenn du mir die Frage beantwortest. Wie groß ist der kleinste Winkel eines Rhombus, wenn das geometrische Mittel der beiden Diagonalen genau so groß ist wie die Seite des Rhombus?" 4 rote Punkte.

Lösung

Die Formel A=e*f/2 gilt weil, die Diagonalen des Rhombus senkrecht aufeinander stehen und damit die Flächeninhaltsformel für Dreiecke genutzt werden kann. Die sich halbierenden Diagonalen - Eigenschaften eines Parallelogramms - sind jeweils die Höhen.
Dass die Diagonalen senkrecht stehen, lässt sich schnell zeigen. Die Dreiecke ABE und BCE sind kongruent zueinander (mit sss) Damit sind die Winkel AEB und BEC gleich groß und als Nebenwinkel eben jeweils 90°
Bei einem Rechteck mit a <> b lässt sich auf gleichem Weg zeigen, dass die Diagonalen nicht senkrecht zueinander sind und demzufolge die obige Formel nicht genommen werden kann.
Geometrisches Mittel von e und f ist Wurzel (ef) und das soll gleich a sein.
Also gilt a²=ef
Wegen A = ef/2 , aber auch A = a² sin α folgt:
ef/2 = ef sin α
1/2 = sin α
α = 30 °