Serie-24

Aufgabe 2

278. Wertungsaufgabe
"In unserem Mathezirkel untersuchen wir große und kleine natürliche Zahlen, erzählte Maria am Abendbrotstisch. "Erzähl mal weiter," forderte ihr Vater sie interessiert auf. "Als erstes suchten wir die kleinste natürliche Zahl (größer als Null), die sich ohne Rest durch alle natürlichen Zahlen von 1 bis 10 teilen lässt. (2 blaue Punkte)
Die andere Aufgabe war dann schon was für unsere richtigen Experten. Welche ist die kleinste natürliche Zahl (größer 1) aus der sich die 2., die 3. , .. und die 10. Wurzel ziehen lässt, so dass die Ergebnisse natürlich auch wieder natürliche Zahlen sind." - 3 rote Punkte

Lösung

blau: Mal ohne Primfaktorenzerlegung. Die Zahl muss durch 10 teilbar und durch 9, also durch 90. Auch der Faktor (Teiler) sieben wird gebraucht. Das aber geht nur, wenn die gesuchte Zahl 7 · 90 = 630 enthält. So muss die gesuchte Zahl ein Vielfaches von 630 sein. 1260 - aber das geht nicht durch 8. 1890 geht auch nicht, aber 2520 enhählt allen gesuchten Teiler. (Die Primzahlzerlegung beweist das auch noch mal: 2520 = 2³ · 3² · 5 · 7)
rot: Wegen > 1 muss es eine Potenz 2ⁿ sein. Jetzt wird zum Beispiel die 5. Wurzel gesucht, dann nutze ich die Exponentialschreibweise. 5. Wurzel aus 2ⁿ= 2^n/5. n muss also durch 5 teilbar sein. Das gleiche gilt entsprechend 4. Wurzel also n muss durch 4 teilaber sein usw. n ist letztlich die bei blau gesuchte Zahl. 2²⁵²⁰ ist die gesuchte Zahl. 3,9408425 · 10⁷⁵⁸Die Zahl also insgesamt 759 Stellen.
39408424552214162695348543183638915172819172249751642655322154182349336765880096
10655644786388200003560563883371670355420740089454019139502362143605063997052312
03021164366069389563701733455174652493802096528279659381259483508916176782516892
61632215488187059650565457777432980818725650237046825687537631627813593798578816
08885188091378378731800863271837927577487029464607207207704361774773772297845000
22657580657233628383930137914619684009220791267089768552182903618603146950084219
24278007257807164800126572667987375177230234311435842855213499193805644680391721
69626202673688062730898676596391772134889601552116981492110306817797885781410543
59274289556411400436598704927821275214881488970218576557325551889577507340928956
338410400961096026352642413831783448576
Die Potenzen der 2 von 2¹ bis 2²⁵²⁰ hier mal klicken