Serie-24

Aufgabe 8

284. Wertungsaufgabe

„Du mit deinen „Primelzahlen“, da hast du mich neulich ganz schön auf Trab gehalten,“ knurrte Lisa. „Aber egal, schau mal. Beim letzten Treffen unseres Mathematikzirkels hat uns Alfred eine Zeichnung gezeigt, auf der ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck zu sehen war. Er hatte einen Punkt X in das Innere gezeichnet und diesen mit den Eckpunkten des Dreiecks verbunden. Die drei den Punkt umgebenden Winkel waren „zufälligerweise“ alle gleich groß. Er hatte alle in der Figur vorkommenden Winkel schon ausgerechnet.“ Wie groß sind die in der Figur vorkommenden Winkel? - 4 blaue Punkte.
„Aber es war ihm bisher noch nicht möglich, eine exakte Konstruktionsvorschrift – und Begründung – anzugeben, wie man den Punkt X bei gegebenen Dreieck durch eine Konstruktion findet.“ 6 rote Punkte.

Lösung:

Dem Bild kann man die blaue und rote Lösung entnehmen. Der gesuchte Punkt um den es geht, heißt in der Zeichnung H. Es ist der sogenante "innere" Fermatpunkt, der für jedes Dreieick, dessen größer Winkel < als 120° ist existiert. Die drei Winkel, die den Punkt H als Schteilpunkt haben, sollen laut Aufgabenstellung gleich groß sein. Damit sind diese je 120° groß. Allerdings werden ja auch die Winkel bei den Eckpunkten geteilt. Im Dreieck ABH sind die Winkel 30°, 30° und 120° groß. Im Dreieck BCH gibt es 15°, 45° und 120°, genau wie im Dreieck ACH.

Die Konstruktion des Punktes H ist leider nur einmal komplett gelöst worden - Elisa (mit Papa?) aus Klasse 7. Hier wurde die spezielle Form des Dreiecks genutzt, nämlich, dass es gleichschenklig war, bei der Aufgabenstellung vollständig korrekt.

Hier nun die allgemeinere Variante.

Über den Seiten a und b des Dreiecks ABC werden gleichseitige Dreiecke konstruiert. - rötliche Hilfskreise. ZU diesen werden jeweils die Umkreise konstruiert - blaue Kreise. Diese schneiden sich im Punkt H.

Warum ist nun der Winkel CHB 120° groß? Nun die Punkte HBDund C liegen auf einem Kreis. Damit handelt es sich, bei dem aus den Punkten gebildeten Viereck um ein Sehnenviereck. In einem solchen gilt, dass die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180° beträgt. Winkel BDC = 60° (gleichseitiges Dreieck) als Winkel CHB = 180° - 60° = 120°.

Entsprechend gilt die Überlegung für den Winkel CHA ==> 120° und so mit alle Winkel bei H 120°.

Praktische Bedeutung des Punktes H. Sind A, B, und C drei Orte, die durch Straßen verbunden werden sollen, die insgesamt möglich kurz sein sollen, so geht dies mit Hilfe des Punktes H.

Zum selberprobieren (Achtung, Java wird gebraucht und es kann zum Absturz des Browsers kommen) < -- hier -->