Serie-24

Beitragsseiten

Seite 3 von 13

Aufgabe 3

279. Wertungsaufgabe
"Ich habe heute eine besondere Variante einer Quadratkonstruktion entdeckt", sagte Maria. "Wie meinst du das?", fragte Bernd. "Pass auf.  Man nimmt eine Gerade a und legt auf ihr einen Punkt A fest. Dann legst du einen Punkt X fest, der nicht auf der Geraden liegt, aber so, dass AX nicht senkrecht zur Geraden a liegt. Das gesuchte Quadrat ABCD liegt mit einer Seite auf a. Der Punkte D des gesuchten Quadrates soll von X genauso weit entfernt sein, wie von A. Wie lässt sich nun ein solches Quadrat konstruieren?" (Konstruktionsbeschreibung 5 blaue Punkte.)
Bernd und Mike grübelten eine Weile, dann hatten sie die Konstruktion gefunden. Mike machte zur Übung, die Konstruktion gleich mehrfach. Lisa sah dies und probierte es ebenfalls, allerdings so, dass sie bei ihren Konstruktionen nur den Punkt A auf der Geraden a immer mal anders einzeichnete. Die Lage von X und a blieb also. Als sich Bernd später die Konstruktionen ansah machte er bei der Betrachtung der Lage der jeweils konstruierten Punkte D eine erstaunliche Beobachtung. Als er die Punkte miteinander "elegant" verband, sah er eine klassische Kurve. Welche? - 3 rote Punkte (Name und kurze Begründung)

Lösung

279 Auf dem Bild sind die Konstruktionen für den Punkt D bzw. D1 - Punkt auf A zu erkennen. m ist die Mittelsenkrechte von AX. Deshalb sind die Punkte D bzw. D1 gleichweit von A und X entfernt. (D liegt senkrecht über A bzgl. a, damit eine der Quadratseiten von ABCD auf a liegt.
Da die Quadratseiten AD bzw. AD1 nun konstruiert sind, lassen sich daruas jeweils zwei Quadate konstruieren ABCD (mathematisch positiver bzw. negativer Umlaufsinn) und ABCD1 (mathematisch positiver bzw. negativer Umlaufsinn) Anmerkung: Wird AX senkrecht a zugelassen, so gibt es einen Punkt D mit den geforderten Eigenschaften, aber nicht D1. rot: Die Punkte D liegen auf einer Parabel. Mögliche Definition einer Parabel:
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte X, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt – dem Brennpunkt F – und einer speziellen Geraden – der Leitgeraden l – gleich ist.
X wurde durch D ersetzt, F durch X und l durch a. Quelle
Die Punkte D1 " bewegen sich auf a. (letzlich ein Spezialfall einer Parabel.)