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Aufgabe 6

282. Wertungsaufgabe
"Die blaue Aufgabe der letzten Woche fand ich aufwändiger als den roten Teil", meinte Mike, der sich die doch recht vielen Varianten anschaute. "Na ja, es musste mehr geschrieben werden, aber bei systematischer Betrachtung war das doch nicht so schlimm", gab Lisa zu bedenken.
" Da nun das Osterfest vor der Tür steht, kam mir die klassische Eieraufgabe wieder in den Sinn." "Lass hören." Ein Osterhase ist auf dem Weg um Ostereier zu verstecken. Er trifft auf einen Kollegen, dessen Korb leer ist. Er gibt ihm die Hälfte seiner Eier und ein halbes. Wenig später teilt er den verbliebenen Rest wieder mit einem Kollegen, dem er die Hälfte und ein halbes Ei gibt. So geht das noch zwei mal. Kurz vor dem Ziel angelangt, hat er so nur noch genau ein Ei im Korb. Das isst er selbst und geht nach Hause. Wie viele Eier hatte er zu Beginn im Korb? - 4 blaue Punkte (natürlich hat er nicht wirklich irgendeines der Eier geteilt.)
Wie viele Eier müsste der Osterhase in seinem nichtleeren Korb mindestens haben, um, ohne eines der Eier kaputtzumachen, folgende Teilungsvarianten vorzunehmen:

Der erste Kollege bekommt die Hälfte aller Eier und ein halbes Ei, der zweite ein Drittel des Restes und ein Drittel-Ei. Dann gibt es ein Viertel und ein Viertel-Ei und zum Schluss ein Fünftel und ein Fünftel-Ei. 4 rote Punkte (Die im Korb verbleibenden Eier sollte er diesmal besser verteilen und nicht aufessen.)

 

Lösung:

Es gab eine recht große Beteiligung, aber dabei waren leider auch eine Reihe falscher Angaben. Es besonders die Angabe, dass es nicht wirklich kaputte Eier geben darf, wurde missachtet. Etwas schade, dass die schöne rote Aufgabe nur von wenigen in Angriff genommen wurde, vor allem, wenn doch das Prinzip bei blau deutlich wurde, aber okay.

blau: Eine von vielen Varianten. Wenn der Hase am Ende ein Ei hat, dann waren es vorher x, so dass x - x/2 -1/2 = 1 gilt. (Für Nichtgleichungsleser: Er hatte x Eier, von denen die Hälfte ab und ein halbes gab er auch noch weg. Umstellen oder Probieren führt auf x = 3. Vorher hatte er y Eier mit y - y/2 -1/2 = 3. Das führt auf y = 7. Die nächste Überlegung führt auf 15 und schließlich auf 31 Eier.

rot: Bei blau sieht man dass die Eierzahl ungerade sein muss. Will man am ein drittel Ei zu einem Rest von Eiern ergänzen, so geht das bei 2/3 bei 5/3, bei 8/3 ... Also bei einer Zahl die 1 kleiner ist als eine durch drei teilbare Zahl. Für das 1/4 Ei gilt entsprechend. Es muss sich um eine Zahl handeln, die um 1 kleiner ist als eine durch 4 teilbare Zahl. ... Die gesuchte Startzahl ist also um 1 kleiner als eine Zahl, die durch 2; 3; 4 und 5 teilbar ist. Eine solche Zahl ist das KgV der Zahlen (oder ein Vielfaches davon). Das kgV ist 60, die Startzahl also 59. (Die Teilungsvarianten gehen aber mit mit jedem Vielfachen von 60, wenn man dann noch 1 subtrahiert. so auch mit 5! -1 = 119)

der Test:

59 - (59/2 + 1/2) = 59 - 30 = 29

29 - (29/3 + 1/3) = 29 - 10 = 19

19 - (19/4 + 1/4) = 19 - 5 = 14

14 - (14/5 + 1/5) = 14 - 3 = 11

(Man könnte sogar noch weiter machen: 11 - (11/6 + 1/6) = 11 - 2 = 9, weil die 6 im obigen kgV als Teiler drin steckt.)
Interessant auch die Aufgabenstellung von XXX 1. die Hälfte und 1/2 Ei  , dann zwei Drittel und ein 2/3 Ei, ... Eine Lösung dafür habe ich noch nicht.