Serie-26
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Aufgabe 12
312. Wochenaufgabe"Hallo Bernd, was hast du denn da?", fragt Maria. "Nun, das ist eine coole Uhr, die mir mein Mathematiklehrer mal geborgt hat. Hier hast du auch noch eine Beschreibung dazu."
Der Grundkörper der Uhr ist (war) ein 10 cm großer Würfel. Dieser wurde abgeschrägt und zwar so, dass die Kanten der schrägen Fläche ein Dreieck bilden, die den Diagonalen der Deckfläche der vorderen Fläche und der rechten Seitenfläche entsprechen. Man betrachte dazu das Bild. Die drei Pyramiden haben jeweils die gleiche Höhe. Damit sie sich drehen können, sind kleine Abstände zwischen ihnen bzw. dem Würfelrestkörper von je 3 mm. Die untere Pyramidenscheibe zeigt die Stunden, die mittlere Scheibe die Minuten und die kleine Pyramide steht für die Sekunden. Wenn man die Uhr um 12 Uhr startet, dann bilden Würfelrestkörper und die drei Pyramiden genau wieder den Urprungswürfel. Wann bilden dann die drei drehbaren Teile zum ersten Mal wieder eine "richtige" Pyramide? 5 blaue Punkte (Achtung, wie das ganze in Bezug auf den Würfelrest aussieht, ist egal.) Wie groß sind die Volumina der drei drehbaren Teile? 6 rote PunkteLösung:
blau: Das Problem lässt sich auf die Frage zurückführen, wann stehen bei einer Uhr die zeiger übereineinander. Für den Minutenzeiger gilt, dass er 12 mal schneller ist als der Stundenzeiger. Der Minutenzeiger bewegt sich mit der Zeit t so, dass er 360°*t zurücklegt, der Stundenzeiger nur 30°*t. Übereinander liegen die genau dann, wenn der Unterschied zwischen den beiden Werten für das gleichte t bei einem Vielfachen von 360° Grad liegt. 360°*t - 30°*t = n* 360° Das nach t umgestellt, führt auf t = 12/11 *n. Nun haben wir es bei der Uhr aber damit zu tun, dass jede Scheibe ja schon nach 120° wieder in den °Ausgangszustand" kommt. Wegen 360= 3* 120 Wird demzufolge t = 4/11*n.
Die untere Scheibe (Stunden) und die mittlere Scheibe liegen also nach je 4/11 Stunden genau übereinander.
Eine vollständige Pyramide aber ist ja erst erreicht, wenn auch die Sekundepyramide "richtig" über den beiden Scheiben dreht. Wendet man das obige Prinzip noch einmmal an, so erkennt man, dass dies Übereinstimmung zum ersten Mal erst nach 4 Stunden erreicht werden kann. (Analog bei den Zeigern einer "normalen" Uhr heißt dass nur um 12.00 Uhr liegen alle Zeiger übereinander.) Auch wenn es bei beim Betrachten der eben fast so ausssieht als ob es zwischen durch klappt, ist es eben nur dann der Fall, wenn der "Ausgangswürfel" wieder komplett ist . Technisch kommt noch hinzu, dass sich die Sekundenpyramide nicht kontinuierlich dreht, sondern "Sekundensprünge" macht, aber das war für die Aufgabenstellung nicht zu berücksichtigen.
rot: Zuerst kann man die Pyramide betrachten, die vom Würfelabgeschnitten und zur Uhr umfunktioniert wird. Die komplette Pyramide (ohne Abstände) hat ein {tex} \frac{1}{6}{/tex} des Volumens des Würfels. {tex} V = \frac {1}{3} \cdot A_G \cdot h{/tex} AG ist in dem Fall eines halbe Quadratfläche und h entspricht der Kantenlänge. Das Volumen der Pyramide ist also 1000/6 cm³ = 166,666 ... cm³. Für die Weitere Berechnung gehe ich nun zur Grundfläche über, die durch das gleichseitige Dreieck gebildet wird. Die Seitenlängen entsprechen der Diagonalen der Quadratflächen (14,142 ... cm), somit ergibt sich für diese Grundfläche Ag eine Grundfläche von 86,60 ... cm².
Mit der obigen Volumenformel {tex} h = \frac {3V}{A_G}{/tex} ergibt sich eine Höhe (von der Schnittfläche zur Ecke) von 5,77 cm. Daraus lassen sich die Höhen für die einzelnen Scheiben ermitteln (5,77 - 0,9) : 3 = 1,62 cm.
Berechnung des Volumens für die Sekundenpyramide. Es wird noch die Kantenlänge für deren Grundfläche gebraucht. Diese lässt sich mit Hilfe des 2. Teils des Strahlensatzes ermitteln. {tex} \frac {a_1}{14,142 cm} = \frac {1,62 cm}{5,77 cm}{/tex} ==> a1 = 3,97 cm. Mit der obigen Formel ergibt sich VS = 3,68 cm³.
Die Minuten- und die Stundenscheibe sind Pyramidenstümpfe. Dafür gibt es diese Formel {tex}V = \frac{1}{3} h \cdot (A_G + sqrt{A_G A_D} + A_D){/tex} D steht dabei bei für die Deckfläche und G für die Grundfläche. UnterAusnutzung der Formel für das gleichseitige Dreieck verändert sich die Formel zu {tex}V = \frac{1}{12} h \cdot sqrt {3} \cdot ({a_G}^2 + {a_G \cdot a_D} + {a_D}^2){/tex}
Für h ist jeweils 1,62 cm einzusetzen, das jeweilige aG bzw. aD ist mit dem Strahlensatz ermittelbar. Für die Minutenscheibe sind das: aD = 4,706 cm und aG = 8,676 cm. In die Formel eingesetzt ergibt das: VM = 32,32 cm³.
Entsprechend ergibt sich für die Stundenscheibe: VH = 92,02 cm³.
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