Serie-26
Beitragsseiten
Aufgabe 8
308. Wertungsaufgabe"Was machst du Schönes?", fragte Bernd seine Schwester. "Ich habe das Geheimnis der Zahl 7 entdeckt und werde in meiner Spezialistengruppe diesen Mythos untersuchen." Klingt interessant, lass hören." "Hier die Aufgabe:"1234567654321 *(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1) = 7 777 777 * 7 777 777
"Und das stimmt?" Formale Überprüfung durch Nachrechnen 3 blaue, Herleitung durch andere Überlegungen noch mal 3 blaue Punkte.
"Kennst du ein anderes Geheimnis der 7?", fragte Maria ihren Bruder. "Ein Geheimnis ist es vielleicht nicht, aber die 7 soll dabei sein. Die Zahlen 5, 6 und 7 folgen ja aufeinander. Gesucht sind drei aufeinander folgende natürliche Zahlen (größer als 10), wo die erste durch 5, die zweite durch 6 und die dritte durch 7 teilbar sein soll und drei andere aufeinander folgende natürliche Zahlen (größer als 10), wo die erste durch 7, die zweite durch 6 und die dritte durch 5 teilbar sein soll." "Da gibt es doch sicher mehr als eine Lösung." "Aber klar doch." (je ein Tripel mit der geforderten Eigenschaft ist zu finden, je 2 rote Punkte, wer viele rote Punkte will -- 8 -- der sollte drei andere aufeinander folgende natürliche Zahlen finden, wo die erste durch 307, die zweite durch 308 und die dritte durch 309 teilbar ist.)
Lösung:
blau: Mit einem "normalen" Taschenrechner funktioniert das Nachrechnen meist nicht, da es zu viele Ziffern sind, die es anzuzeigen gilt.
Das Ergebnis lautet für beide Seiten: 60 493 815 061 729
Die linke Seite 1234567654321 *(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1) lässt sich zu 1234567654321 * 49 umwandeln. Die Linke Zahl hat eine einfache Struktur und wird nun untersucht:
11 * 11 = 121
111 * 111 = 12321
1111 * 1111 = 1234321 ...
1234567654321 * 49 = 1111111 * 1111111 * 7 * 7 = 7 * 1111111 * 1111111 * 7 = 7777777 * 7777777
rot: die Grundlage für diese Aufgabe ist der chinesische Restsatz. Ohne diesen zu erwähnen geht es auch. Hier die Lösung von Uwe Parsche, danke
1. Tripel teilbar durch 5, 6 bzw. 7: 215, 216, 217
weitere Tripel ergeben sich aus {5, 6, 7} + n*5*6*7 mit n .. natürliche Zahlen
z.B.: mit n = 6: --> 1265; 1266; 1267
z.B.: mit n = 7: --> 1475; 1476; 1477
z.B.: mit n = 8: --> 1685; 1686; 1687
z.B.: mit n = 10: --> 1895; 1896; 1897
z.B.: mit n = 10: --> 2105; 2106; 2107
z.B.: mit n = 37: --> 7775; 7776; 7777 --> Geheimnis der 7 ???
2. Tripel teilbar durch 7, 6 bzw. 5: 203, 204, 205
weitere Tripel ergeben sich aus {-7, -6, -5} + n*5*6*7 mit n .. natürliche Zahlen
z.B.: mit n = 6: --> 1253; 1254; 1255
z.B.: mit n = 7: --> 1463; 1464; 1465
z.B.: mit n = 8: --> 1673; 1674; 1675
z.B.: mit n = 9: --> 1883; 1884; 1885
z.B.: mit n = 10: --> 2093; 2094; 2095
3. Tripel teilbar durch 307, 308 bzw. 309: 29218111, 29218112, 29218113
weitere Tripel ergeben sich aus {307, 308, 309} + n*307*308*309 mit n .. natürliche Zahlen
3. Tripel teilbar durch 307, 308 bzw. 309: 29218111, 29218112, 29218113
weitere Tripel ergeben sich aus {307, 308, 309} + n*307*308*309 mit n .. natürliche Zahlen
z.B.: mit n = 2: --> 58435915; 58435916; 58435917
z.B.: mit n = 3: --> 87653719; 87653720; 87653721
z.B.: mit n = 4: --> 116871523; 1168715234; 1168715235
z.B.: mit n = 5: --> 146089327; 146089328; 146089329
z.B.: mit n = 6: --> 175307131; 175307132; 175307133
z.B.: mit n = 73: --> 2132899999; 2132900000; 2132900001
z.B.: mit n = 242: --> 7070708875; 7070708876; 7070708877
allgemein gilt:
- zerlege die 3 oder k Grundzahlen in ihre Primzahlen
z.B.: 14; 15; 16 --> 2*7; 3*5; 2*2*2*2
- multipliziere alle Primzahlen
(evtl. kommen in der Zerlegung mehrere Primzahlen doppelt vor, diese nicht doppelt zählen)
z.B.: 2*2*2*2*3*5*7 = 1680
falls die Zahlen aufsteigend sind gilt:
{14, 15, 16} + n * 1680 mit n .. natürliche Zahlen
falls die Zahlen abfallend sind gilt:
{-16, -15, -14} + n * 1680 mit n .. natürliche Zahlen
Kommentare
Alle Kommentare dieses Beitrages als RSS-Feed.