Serie-26
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Aufgabe 6
306. WertungsaufgabeMaria sitzt am Computer als Bernd in ihr Zimmer kommt. „Das sieht aber cool aus. Was ist das?“ „Ich lese auf der Schulhomepage gerade den Artikel zur Sierpinskipyramide. --> Zum Nachlesen<-- Dieses Modell wurde in der letzten Projektwoche gebaut.“ „Aus wie vielen kleinen Tetraedern mag wohl dieses Modell bestehen?“ „Das lässt sich ausrechnen. Pass auf. Ich gehe die Beschreibung noch mal durch. Man nimmt ein Ausgangstetraeder – Stufe 0. Nun werden alle Kanten des Tetraeders halbiert. Danach lassen sich also ausgehend von den Ecken des Ausgangstetraeders vier halb so große finden. Alles, was in der Mitte ist, kommt weg. Fertig ist die Stufe 1. Nun wird mit den verbleibenden Stufen-1-Tetraedern der Vorgang – Halbieren … – wiederholt. Das gebaute Sierpinskitetraeder entspricht der Stufe 5.“ Aus wie vielen kleinen Tetraedern besteht das Modell und was für ein Körper passt in die Lücke der Stufe 1? – 3+3 blaue Punkte (Nur Anzahl oder Name des Körpers bringt nicht die volle Punktzahl). Wie groß sind Oberfläche und Volumen der Stufe 5 im Vergleich zur Stufe 0, wenn die Kantenlänge in Stufe 0 bei 96 cm liegt? (8 rote Punkte)
Lösung:
blau:
Stufe 0 - 1 Tetraeder = 40
Stufe 1 - 4 Tetraeder = 41
Stufe 2 - 16 Tetraeder = 42
...
Stufe 5 - 1024 Tetraeder = 45
allgemein: Stufe n 4n Tetreder
Betrachtet man das Bild aus Aufgabe 307, so ist zu erkennen, dass die Figur, die in die Lücke passt 6 Ecken hat und 8 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flächen besitzt ein Oktaeder ist.
rot: Betrachten wir zuerst den Übergang von Stufe 0 zur Stufe 1: Volumen. Die Stufe 1 besteht aus 4 Tetredern, die die halb so groß sind wie das Teraeder der Stufe 0. Damit ist das Volumen eines Tetraeders 1/8 des Ausgangsvolumens. Da es vier Tetraeder sind 4/8 oder 1/2 des Ausgangsvolumens. Oberfläche der Stufe 0 besteht aus vier zueinander kongruenten gleichseitigen Dreiecken 4*A0. Die Stufe 1 besteht aus 16 halb so großen Dreiecken 16*A1. A1 ist aber 1/4 von A0. 16*1/4*A0 = 4A0.
Zusammengefasst: Beim Übergang von Stufe 0 zur Stufe 1 wird das Volumen halbiert, aber die Oberfläche bleibt. Wie man leicht nachvollziehen kann, passiert beim Übergang von Stufe 1 zur Stufe 2 das Gleiche: das Volumen wird halbiert, aber die Oberfläche bleibt.
Allgemein: Vn = (1/2)n * V0 und An = A0
Setzt man die 96 cm der Stufe 0 in die Tetraederformel und dann in die obige Formel ein ergeben sich:
V5 = 3258 cm3 und A5 = 15963 cm2
Hier mal noch ein Bild einer passenden Mathematikbriefmarke:
Noch mehr Mathemarken --> hier <--
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